§ 4. Преобразование выражений, содержащих радикалы

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; обозначают его √a. Такой корень существует в действительных числах только при a ≥ 0. Это определение напоминает, что под знаком корня нельзя оставлять отрицательное число и что результат всегда неотрицателен.

Вынесение множителя из-под знака корня — преобразование √(a²b) в |a|√b при b ≥ 0. Если дополнительно известно, что a ≥ 0, модуль можно заменить на a. Такой приём нужен, чтобы упростить радикал: полный квадрат превращается в множитель перед корнем.

Внесение множителя под знак корня — запись a√b в виде √(a²b), если a ≥ 0 и b ≥ 0. Множитель при этом возводится в квадрат, поэтому значение произведения сохраняется. Преобразование удобно, когда требуется объединить несколько корней или сравнить выражения.

Освобождение от иррациональности знаменателя — преобразование дроби, после которого в знаменателе не остаётся корней. Для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же ненулевое выражение. Так дробь сохраняет значение, а её знаменатель становится рациональным, то есть не содержит радикала.

Как это устроено

Чтобы вынести множитель, подкоренное выражение раскладывают на произведение, в котором один из множителей является полным квадратом. Например, 72 = 36 · 2, а √36 = 6, поэтому √72 = 6√2. Это работает потому, что квадратный корень произведения неотрицательных чисел равен произведению их корней. Если из-под корня выносится выражение в квадрате, появляется модуль: √(a²) = |a|, ведь корень не может быть отрицательным.

При внесении множителя под корень его сначала возводят в квадрат: a√b = √(a²)√b = √(a²b). Здесь требуется a ≥ 0: только тогда √(a²) = a, и преобразование возвращает исходное выражение. Если a отрицательно, правая часть будет неотрицательной, а исходное произведение — отрицательным, поэтому равенство нарушится. Само подкоренное выражение b также должно быть неотрицательным.

Правило корня произведения записывают так: √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Условия нужны, чтобы оба корня справа существовали; при них произведение корней неотрицательно и его квадрат равен ab. Для частного действует правило √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0: знаменатель не может быть нулём, а подкоренные выражения должны быть допустимыми. Поэтому перед применением свойства проверяют не только вид формулы, но и знаки чисел.

Чтобы убрать радикал из знаменателя, дробь умножают на выражение, которое превращает знаменатель в число или рациональное выражение. Для √a в знаменателе обычно домножают числитель и знаменатель на √a, а для суммы или разности с корнем используют сопряжённое выражение. Например, произведение (√a − b)(√a + b) раскрывается по формуле разности квадратов. Умножение не меняет дробь, потому что числитель и знаменатель умножаются на один и тот же ненулевой множитель.

Равносильность преобразования проверяют, учитывая область допустимых значений — все значения переменных, при которых исходное выражение определено. Сначала устанавливают ограничения на подкоренные выражения и знаменатели, затем применяют свойства только при выполнении их условий. После этого можно сравнить исходное и полученное выражения на допустимых значениях. Особенно внимательно проверяют преобразования с переменными: знак множителя может зависеть от значения переменной.

Основные преобразования выражений с квадратными корнями

Сначала найдите в таблице нужный вид преобразования, затем проверьте условия в соответствующей строке. Если в выражении есть переменные, не заменяйте модуль без сведений об их знаке. Примеры показывают типичный ход преобразования, но условия остаются обязательными.

Разбор задач

Задача 1. Упростить √72. Нужно найти в разложении числа 72 на множители полный квадрат, чтобы извлечь из него корень. Подойдёт 36, поскольку 72 = 36 · 2 и √36 вычисляется точно. Оставшийся множитель 2 под корнем уже не содержит полного квадрата, большего единицы.

1. Разложим подкоренное число: 72 = 36 · 2.
2. Применим правило корня произведения: √72 = √36 · √2.
3. Вычислим √36 = 6 и получим 6√2.

Ответ: 6√2. Проверка: (6√2)² = 36 · 2 = 72, а результат неотрицателен. Значит, найден именно арифметический квадратный корень.

Задача 2. Упростить √(12a²), если a ≥ 0. Сначала представим число 12 как произведение полного квадрата и остатка: 12 = 4 · 3. Переменную часть a² тоже можно извлечь из-под корня, но результат обычно записывается как |a|. Условие a ≥ 0 позволяет заменить модуль на a.

1. Разложим выражение: √(12a²) = √(4 · 3 · a²).
2. Вынесем полные квадраты: √4 = 2, а √(a²) = |a|.
3. Учтём условие a ≥ 0, то есть |a| = a, и получим 2a√3.

Ответ: 2a√3. Если бы условие о знаке a отсутствовало, правильная запись была бы 2|a|√3. Модуль нужен, чтобы результат извлечения корня оставался неотрицательным.

Задача 3. Освободить знаменатель дроби 3/(√5 − 1) от радикала и упростить результат. В знаменателе стоят разность и корень, поэтому умножим дробь на сопряжённое выражение √5 + 1. Числитель и знаменатель умножаются на один множитель, а значение дроби не меняется. Знаменатель после умножения упростится по формуле разности квадратов.

1. Домножим дробь на (√5 + 1)/(√5 + 1): 3/(√5 − 1) = 3(√5 + 1)/((√5 − 1)(√5 + 1)).
2. Применим формулу (x − y)(x + y) = x² − y²: знаменатель равен 5 − 1 = 4.
3. Разделим числитель и знаменатель на 4: получим 3(√5 + 1)/4.

Ответ: 3(√5 + 1)/4. Сопряжённый множитель не равен нулю, поэтому домножение допустимо. В знаменателе результата радикала нет.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Её допускают, забывая, что арифметический корень неотрицателен, тогда как a может быть отрицательным; верная запись — √(a²) = |a|. Для проверки подставьте отрицательное число, например a = −3: корень из 9 равен 3, а не −3.

Ошибка: применять √(ab) = √a · √b, не проверив знаки множителей. В таком случае один из корней справа может не существовать в действительных числах, хотя слева произведение ab иногда неотрицательно. Перед разложением проверьте отдельно, что a ≥ 0 и b ≥ 0. Например, при a = −1 и b = −1 левая часть определена, а корни справа — нет.

Ошибка: вносить отрицательный множитель под корень по правилу a√b = √(a²b). Формула выводится для неотрицательного a, а при отрицательном множителе левая часть отрицательна, тогда как арифметический корень справа неотрицателен. Проверяйте знак выносимого или вносимого множителя до преобразования. Например, −2√3 нельзя заменить на √12.

Ошибка: при освобождении знаменателя умножать только знаменатель. Так числитель остаётся прежним, и значение дроби меняется, хотя цель преобразования — получить равную ей дробь. Умножайте обе части дроби на одно и то же ненулевое выражение. Проверить себя можно, сравнив исходную дробь и новую на калькуляторе или заметив, что их отношение должно равняться единице.

Связь с другими темами

Для преобразований радикалов нужны определение арифметического квадратного корня, свойства степеней и формулы сокращённого умножения. Свойства степеней помогают распознавать полные квадраты, а формула разности квадратов — убирать корни из знаменателя. Позже эти приёмы применяются при решении уравнений и неравенств, упрощении выражений и вычислении значений функций. Умение проверять область допустимых значений особенно важно при работе с переменными.

Что запомнить

• Подкоренное выражение арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным.
• √(a²) = |a|, а не всегда a.
• Корень произведения равен произведению корней, если подкоренные множители неотрицательны.
• При вынесении множителя из-под корня проверь знак этого множителя.
• Вносить множитель под знак корня по правилу a√b = √(a²b) можно при a ≥ 0.
• Чтобы освободить знаменатель от радикала, умножают дробь и на числитель, и на знаменатель.