"Информатика (базовый и углублённый уровень)", Гейн А.Г., Сенокосов А.И.
Модель экономической задачи помогает выбрать решение, когда нужно достичь цели, но ресурсы ограничены. Например, предприятие решает, сколько изделий выпускать, чтобы получить наибольшую прибыль и не израсходовать сырья больше, чем есть. Для построения модели выделяют неизвестные объёмы, известные данные, цель и обязательные условия. Затем записывают целевую функцию и ограничения, а выбранный план проверяют на допустимость и оптимальность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Экономическая задача — задача о выборе решения, которое обеспечивает заданный результат при ограниченных ресурсах. В ней важны известные данные, например запасы сырья и прибыль с изделия, а также условия, которым должен отвечать результат. Такое описание помогает отделить то, что можно выбирать, от того, что уже задано.
Переменные модели — величины, значения которых выбирают при поиске решения. В производственной задаче ими могут быть количества изделий разных видов: x₁ — число изделий первого вида, x₂ — второго. Благодаря переменным план производства можно представить набором чисел и проверять его по условиям задачи.
Целевая функция — выражение, задающее показатель, который требуется максимизировать или минимизировать. Например, если с каждого изделия получают прибыль, суммарную прибыль можно выразить через объёмы выпуска. Целевая функция точно формулирует, какое решение считать лучшим.
Ограничения модели — условия, которым должны удовлетворять выбранные значения переменных. Это могут быть пределы запасов сырья, обязательный минимальный выпуск или неотрицательность количества продукции. Ограничения отсекают планы, которые нельзя реализовать в исходной ситуации.
Сначала описание ситуации разделяют на решения и известные сведения. Вопрос «сколько выпускать?» указывает на неизвестные объёмы, а числа запасов, нормы расхода и прибыль с единицы — на исходные данные. Цель формулируют отдельно: например, получить наибольшую прибыль. Такой разбор нужен, чтобы не перепутать то, что предприятие выбирает, с тем, что изменить нельзя.
Количество каждого вида изделия удобно обозначить отдельной переменной, потому что решение о выпуске может быть разным для каждого вида. Тогда план становится набором значений x₁, x₂ и других переменных, а не расплывчатым описанием. Эти значения можно подставлять в формулы и сравнивать разные варианты. Если количество продукции не может быть отрицательным, добавляют условие xᵢ ≥ 0.
Нормы расхода показывают, сколько ресурса нужно на одну единицу каждого изделия. Чтобы найти общий расход, норму для каждого вида умножают на соответствующий объём, а затем складывают результаты. Например, если изделия расходуют один и тот же материал по нормам a₁ и a₂, общий расход равен a₁x₁ + a₂x₂. Он не должен превышать запас b, поэтому получается ограничение a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b; для другого ресурса составляют отдельное неравенство.
Целевую функцию строят из показателя на единицу продукции. Если прибыль от одного изделия первого вида равна p₁, а второго — p₂, то общая прибыль равна p₁x₁ + p₂x₂. Её требуется максимизировать, потому что увеличение этой суммы улучшает результат предприятия. При задаче о затратах формируют аналогичную сумму расходов, но ищут её минимальное значение.
План допустим, если он одновременно удовлетворяет каждому ограничению, включая дополнительные условия. Но допустимых планов может быть много, и выполнение условий само по себе не означает, что выбран лучший из них. Оптимальным называют допустимый план, при котором целевая функция достигает наибольшего или наименьшего возможного значения. Поэтому проверка решения состоит из двух частей: сначала проверяют ограничения, затем оценивают целевую функцию.
| Элемент задачи | Что означает | Как записывается в модели | Пример |
|---|---|---|---|
| Выбираемые величины | Решения, которые нужно принять | Переменные x₁, x₂, … | Количество изделий каждого вида |
| Известные данные | Заданные характеристики ситуации | Числовые коэффициенты и запасы | Расход сырья на изделие, запас сырья |
| Цель решения | Показатель, который нужно улучшить | Целевая функция | Максимизировать прибыль p₁x₁ + p₂x₂ |
| Ресурсные ограничения | Пределы использования ресурсов | Неравенства по каждому ресурсу | a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b |
| Условия допустимости | Другие обязательные требования | Дополнительные равенства или неравенства | xᵢ ≥ 0, x₃ ≥ m |
| Оптимальный план | Допустимый план с лучшим результатом | Значения переменных при оптимуме | План, дающий наибольшую прибыль |
Читая таблицу, сначала найдите в условии выбираемые величины и заданные числа, а затем сопоставьте их с соответствующими элементами модели. Столбец с записью показывает, каким математическим выражением оформить каждую часть задачи. Перед решением проверьте, что для каждого требования из условия нашлась строка или формула модели.
Задача 1. Предприятие выпускает одно изделие, получает прибыль p с каждой единицы и располагает запасом сырья b. На одну единицу изделия требуется a единиц сырья. Нужно составить модель выбора объёма выпуска. Все величины p, a и b известны, а количество изделий предприятие выбирает.
Ответ: модель имеет вид: максимизировать F = px при ax ≤ b и x ≥ 0. Ограничение задаёт возможный выпуск, а функция оценивает его выгодность.
Задача 2. Предприятие выпускает два изделия. На единицу изделия первого вида требуется a₁ единиц ресурса, второго — a₂; запас ресурса равен b. Прибыль с изделий равна p₁ и p₂. Составим модель максимизации прибыли по шагам.
Ответ: максимизировать F = p₁x₁ + p₂x₂ при a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b, x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0. Если ресурсов несколько, для каждого ресурса составляют своё неравенство с его нормами расхода и запасом.
Задача 3. Выпускают три вида продукции, используя два ресурса. Заданы нормы расхода aᵢ и cᵢ для ресурсов, их запасы b₁ и b₂, прибыли pᵢ, а для третьего вида продукции установлен минимальный выпуск m. Нужно записать модель и проверить план (u₁, u₂, u₃).
Ответ: план допустим, только если обе суммы расхода не превышают запасов, все uᵢ неотрицательны и u₃ ≥ m. Если хотя бы одно условие нарушено, план не подходит; если все выполнены, он допустим, но для проверки оптимальности его прибыль нужно сравнить с результатами других допустимых планов.
Путать переменные и исходные данные. Запасы и нормы расхода известны заранее, а объёмы выпуска выбирают; их смешивают, когда не разделяют вопрос задачи и данные в условии. Проверьте себя: переменная отвечает на вопрос «что нужно решить?», а число из условия обычно подставляется в модель как коэффициент или предел.
Неверно составлять ограничение ресурса. Если забыть расход на единицу или учесть только один вид изделия, суммарное потребление окажется заниженным. Ошибка возникает из-за пропуска одного из слагаемых. Для проверки выпишите расход каждого изделия отдельно, умножьте его на объём и только потом сложите.
Подменять целевую функцию запасом или расходом. Запас сырья ограничивает решение, но не показывает прибыль или затраты, которые нужно оптимизировать. Такое смешение возникает, если формулу строят по заметным числам условия, не уточняя смысл цели. Проверьте, зависит ли выражение от объёмов выпуска и измеряет ли именно искомый показатель.
Считать допустимый план оптимальным. Выполнение ограничений доказывает лишь то, что план возможен, но не то, что он лучший. Эта ошибка появляется, когда проверку неравенств принимают за завершение решения. Сначала проверьте все условия, а затем сравните значение целевой функции с другими допустимыми вариантами или найдите её наилучшее значение.
Для построения модели нужны навыки перевода словесных условий в переменные, выражения и неравенства, а также умение выполнять вычисления. Модель экономической задачи — пример математического моделирования: реальные объекты и связи заменяются величинами и формальными условиями. Такие модели применяют в задачах оптимизации, когда требуется выбрать наилучший вариант при заданных ограничениях. Для расчётов и поиска решения можно использовать электронные таблицы и специальные средства оптимизации.
Как понять, какие величины в задаче нужно обозначить переменными?
Переменными обозначают решения, которые предстоит выбрать, например объёмы выпуска изделий. Запасы, нормы расхода и прибыль на единицу обычно уже заданы, поэтому это исходные данные, а не переменные.
Почему прибыль записывают целевой функцией, а расход сырья — ограничением?
Прибыль — показатель, который требуется сделать как можно больше, поэтому её выражают целевой функцией. Расход сырья не выбирают как цель: он должен оставаться в пределах имеющегося запаса, поэтому это ограничение.
Как составить ограничение, если один ресурс расходуется на несколько видов продукции?
Для каждого изделия умножают его объём на расход ресурса на единицу, а затем складывают полученные величины. Суммарный расход сравнивают с запасом: он не должен его превышать.
Чем допустимый план отличается от оптимального?
Допустимый план удовлетворяет всем ограничениям модели. Оптимальный план — это допустимый план, при котором целевая функция принимает наилучшее значение.
Можно ли считать модель правильной, если она не включает одно из условий задачи?
Нет, если пропущенное условие влияет на выбор решения, модель неполна. Она может разрешить план, который в реальной ситуации выполнить нельзя, поэтому перед решением нужно сверить модель со всеми существенными условиями.
§ 8. Модель экономической задачи
