§ 8. Модель экономической задачи

Определения и обозначения

Экономическая задача — задача о выборе действий или распределении ресурсов для достижения заданной цели при имеющихся условиях. Например, предприятию нужно решить, сколько изделий разных видов выпускать, если запасы материалов ограничены. Такое описание помогает отделить цель от условий, которые нельзя нарушать. Без этого разделения нельзя составить точную математическую модель.

Переменные модели — величины, значения которых определяют выбранный вариант решения, например количество выпускаемых изделий каждого вида. Обычно их обозначают буквами x, y или x₁, x₂ и указывают, что именно означает каждая переменная. Это нужно, чтобы представить разные варианты действий числами и выразить через них расход ресурсов или прибыль. Выбирают переменными только те величины, которыми можно управлять.

Целевая функция — выражение, показывающее, какой показатель нужно максимизировать или минимизировать в зависимости от переменных модели. Например, функция может выражать суммарную прибыль предприятия через объёмы выпуска. Она позволяет сравнивать варианты решения по одному выбранному критерию. Одного выражения недостаточно: необходимо указать, требуется ли его увеличить или уменьшить.

Ограничения — условия задачи, задающие допустимые значения переменных и связывающие их с доступными ресурсами. Расход материала, например, не может быть больше его запаса, а объём выпуска не может быть отрицательным. Ограничения отсекают варианты, которые математически возможны, но неосуществимы в реальной ситуации. Вместе с целевой функцией они задают модель задачи.

Как это устроено

Сначала из описания ситуации выделяют управляемые величины: то, что предстоит выбрать. Если предприятие решает, сколько выпускать двух изделий, объёмы выпуска становятся переменными модели. Запасы материалов, нормы расхода, цены и себестоимость уже заданы в условии, поэтому это исходные параметры. Такое разделение нужно, чтобы не менять данные задачи вместе с решением и не спутать то, что выбирают, с тем, что известно.

Затем цель переводят в математическое выражение через выбранные переменные. Если требуется наибольшая прибыль, для каждого изделия учитывают прибыль с единицы и умножают её на объём выпуска, а полученные величины складывают. Когда прибыль с единицы равна цене минус себестоимость, выражение строят именно из этой разности. Наконец, явно указывают «максимизировать»: без этого нельзя понять, какое значение функции считается предпочтительным.

Словесные условия становятся ограничениями, потому что ресурсы имеют конечный запас. Общий расход материала находят, умножая норму расхода на объём каждого изделия и складывая результаты; если расход не должен превышать запас, записывают неравенство «≤». Для каждого ресурса составляют отдельное условие, поскольку материал, время работы и другие ресурсы имеют разные запасы и нормы расхода. Отрицательный выпуск обычно невозможен, поэтому добавляют неотрицательность переменных.

Модель задаёт множество допустимых планов — тех, которые одновременно выполняют все ограничения. Среди них нужно найти план, при котором целевая функция достигает наиболее выгодного значения. Такой план называют оптимальным решением. Требование соблюдать все условия одновременно необходимо потому, что выгодный результат по одному ресурсу не оправдывает превышение запаса другого.

Перед поиском решения модель сверяют с исходной ситуацией. Проверяют, соответствует ли каждая переменная выбранному действию, каждый коэффициент — норме расхода или прибыли, а каждое ограничение — своему условию. Затем сопоставляют единицы измерения: например, килограммы с килограммами, а изделия с изделиями. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в записи до того, как по неверной модели будут сравнивать планы.

Элементы модели экономической задачи

Пользуйся таблицей как последовательностью составления модели: сначала определи переменные и данные, затем сформулируй цель и ограничения. Последняя строка описывает результат решения, а не отдельное исходное условие. Если элемент модели трудно заполнить, проверь, достаточно ли ясно описана исходная ситуация.

Разбор задач

Ограничение на расход ресурса

Предприятие выпускает два вида изделий. На одно изделие первого вида уходит a₁ единиц ресурса, на одно изделие второго — a₂ единиц, а всего имеется b единиц. Требуется записать ограничение на расход ресурса и условия неотрицательности выпуска. Числа не заданы, поэтому ответ будет общей формулой.

1. Обозначим выпуск первого изделия через x₁, второго — через x₂. Эти величины являются переменными, потому что именно их значения выбирает предприятие.
2. Найдём расход на каждый вид продукции: на первый уйдёт a₁x₁, на второй — a₂x₂. Общий расход равен сумме этих величин.
3. Общий расход не может быть больше имеющегося запаса b, поэтому записываем a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b. Поскольку объём выпуска не бывает отрицательным, добавляем x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0.

Ответ: a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b; x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0. Если запас должен быть использован полностью, равенство вместо неравенства допустимо только тогда, когда это прямо следует из условия задачи. Само наличие запаса не означает, что его обязательно нужно израсходовать целиком.

Модель для получения наибольшей прибыли

Предприятие выпускает два вида изделий, для каждого известны цена и себестоимость. Производство ограничено запасами двух ресурсов. Нужно составить модель, позволяющую получить наибольшую прибыль. Обозначим объёмы выпуска через x₁ и x₂, а заданные числовые данные оставим буквенными параметрами.

1. Для каждого изделия найдём прибыль с единицы: p₁ − c₁ и p₂ − c₂, где p — цена, c — себестоимость. Это разности дохода от продажи и затрат на изготовление.
2. Умножим прибыль с единицы на объём выпуска и сложим результаты. Целевая функция имеет вид P = (p₁ − c₁)x₁ + (p₂ − c₂)x₂; её требуется максимизировать.
3. Пусть нормы расхода первого ресурса равны a₁ и a₂, а его запас — b₁. Для второго ресурса обозначим нормы d₁ и d₂, запас — b₂. Тогда ограничения: a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b₁ и d₁x₁ + d₂x₂ ≤ b₂, а также x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0.

Ответ: максимизировать P = (p₁ − c₁)x₁ + (p₂ − c₂)x₂ при записанных ограничениях. Каждое ограничение описывает отдельный ресурс, поэтому два запаса нельзя объединять в одно неравенство. Чтобы получить численную модель, вместо букв нужно подставить значения из условия.

Проверка и сравнение планов

Для модели выпуска продукции заданы допустимые планы A и B. В каждом плане указаны объёмы двух изделий, а прибыль вычисляется по функции P = r₁x₁ + r₂x₂, где r₁ и r₂ — прибыль с единицы. Нужно установить, какой план даёт большую прибыль. Поскольку числовые значения не приведены, покажем порядок действий.

1. Подставим объёмы плана A в каждое ресурсное ограничение. План допустим только тогда, когда все неравенства выполняются одновременно и переменные неотрицательны.
2. Повторим проверку для плана B. Если хотя бы одно ограничение нарушено, такой план нельзя считать решением, даже если его прибыль велика.
3. Для каждого допустимого плана вычислим целевую функцию: P(A) = r₁x₁(A) + r₂x₂(A), P(B) = r₁x₁(B) + r₂x₂(B). Затем сравним полученные значения.

Ответ: из допустимых планов выбирают тот, у которого значение P больше. Если допустим только один план, сравнение не требуется; если не подходит ни один, нужно проверить данные или найти другой план. По двум планам можно выбрать лучший из них, но это ещё не всегда доказывает, что он лучший среди всех возможных вариантов.

Типичные ошибки

• Переменные смешивают с известными параметрами. В таком случае запас ресурса или норму расхода ошибочно считают величиной, которую можно выбирать. Это происходит, когда в задаче все числа и обозначения воспринимают одинаково; проверь себя вопросом «что решает предприятие, а что дано заранее?».

• Записывают целевую функцию, но не указывают, что требуется сделать. Без слов «максимизировать» или «минимизировать» выражение не задаёт критерий выбора лучшего плана. Ошибку легко заметить при проверке: спроси себя, должно ли значение функции расти или уменьшаться.

• Пропускают ограничения или выбирают неверный знак неравенства. Тогда модель может разрешить расходовать больше ресурса, чем имеется, и признать возможным нереальный план. Сверь направление знака с фразой условия: «не больше запаса» означает ≤, а «не меньше заданного количества» — ≥.

• Не добавляют условия неотрицательности. Тогда формальная модель может допустить отрицательный выпуск, хотя в обычной задаче такого действия нет. Проверь смысл каждой переменной и добавь x ≥ 0, если она обозначает количество произведённой продукции или распределённого ресурса.

Связь с другими темами

Для составления модели нужны навыки перевода текстового условия в выражения и неравенства, а также умение работать с переменными. Единицы измерения помогают понять смысл коэффициентов и проверить, можно ли складывать записанные величины. Например, расход материала на изделие, умноженный на число изделий, должен давать общий расход материала.

Экономические модели используют при планировании производства, распределении ограниченных ресурсов и выборе выгодного варианта. Одни и те же математические приёмы применимы к разным ситуациям, если в них есть цель, возможные решения и ограничения. Меняются значения переменных и параметры, но логика построения модели остаётся похожей.

Для поиска решения можно использовать электронные таблицы и компьютерные средства оптимизации. В таблицу вводят переменные, формулы целевой функции и ограничения, после чего программа подбирает подходящие значения. При этом компьютер не исправляет неверную модель, поэтому сначала нужно правильно выразить смысл исходной задачи.

Что запомнить

• Переменные описывают решения, которые можно выбирать.
• Исходные параметры берутся из условия задачи.
• Целевая функция выражает показатель, который нужно улучшить.
• Ограничения описывают допустимые решения.
• Оптимальное решение удовлетворяет всем ограничениям и наилучшим образом достигает цели.
• Модель нужно сверять с исходной ситуацией и единицами измерения.