§ 26. Моделирование случайных процессов

Определения и обозначения

Случайный процесс — процесс, результат которого заранее нельзя точно предсказать, хотя возможные исходы и их вероятности можно описать. Например, при броске кубика неизвестно, какое число выпадет. Это понятие нужно, чтобы отделять закономерности процесса от конкретного случайного результата.

Моделирование случайного процесса — воспроизведение процесса с помощью модели, позволяющее исследовать его возможные исходы. Модель не повторяет все детали реальности, а сохраняет только существенные правила. Благодаря этому можно проводить эксперименты быстрее, безопаснее и дешевле.

Случайное число — число, выбранное случайным образом из заданного набора или интервала. Например, целое число от 1 до 6 может изображать результат броска кубика. Такие числа служат удобным способом разыгрывать отдельные исходы процесса.

Генератор псевдослучайных чисел — алгоритм, который по начальному значению формирует последовательность чисел, похожую на случайную. Числа получают быстро и используют в компьютерных экспериментах. Слово «псевдо» напоминает, что последовательность создаётся вычислением и при одинаковом начале может повториться.

Как это устроено

Модель должна сохранять существенные условия исходного процесса: возможные исходы и правила их появления. Если при моделировании честной монеты одному исходу дать вдвое больший диапазон чисел, он станет выпадать чаще, чем должен. Поэтому сначала выясняют, какие свойства влияют на результат, а второстепенные детали не включают. Так модель остаётся простой, но не искажает исследуемый процесс.

Случайные числа позволяют представить отдельные исходы процесса. Для равновероятных исходов достаточно разделить набор чисел на одинаковые части, а для неравновероятных — сделать части разного размера. Например, при вероятности события 0,2 ему можно отвести 20 чисел из 100. Тогда при большом числе розыгрышей событие будет появляться примерно в 20% случаев.

Компьютерное моделирование начинается с записи правил модели: какие исходы возможны, как получить случайное значение и когда испытание заканчивается. Затем программа многократно запускает один и тот же процесс и сохраняет нужные результаты. Одно испытание может состоять из одного броска, а может включать целую последовательность действий. После серии испытаний программа подсчитывает и сравнивает показатели.

Вероятность события по результатам серии оценивают его относительной частотой: число испытаний, где событие произошло, делят на общее число испытаний. Такая доля показывает, какую часть всех наблюдений составили подходящие исходы. При увеличении числа испытаний случайные отклонения обычно становятся менее заметными, поэтому оценка устойчивее. Однако совпадение с теоретической вероятностью не гарантируется, ведь каждая серия остаётся случайной.

Этапы компьютерного моделирования случайного процесса

Таблицу удобно читать как последовательность действий: от описания процесса к выводу по результатам. Если исследуется новый процесс, сначала проверяют модель, затем выбирают число испытаний и только после этого анализируют статистику.

Разбор задач

Подбрасывания монеты

Условие. Нужно смоделировать 20 подбрасываний монеты и определить число выпадений орла. Орёл и решка считаются равновероятными. Для модели возьмём случайное целое число 0 или 1.

1. Свяжем 0 с решкой, а 1 — с орлом, поэтому каждому исходу соответствует половина возможных значений.
2. Двадцать раз получим случайное число и каждый раз проверим, равно ли оно 1.
3. Увеличим счётчик орлов при каждом совпадении и выведем его после завершения серии.

Ответ. Результат зависит от конкретной последовательности чисел: например, может выпасть 11 орлов. Это не означает, что вероятность орла равна 11/20 навсегда, а только даёт оценку для данной серии.

Сумма 7 при бросании двух кубиков

Условие. Нужно оценить вероятность суммы 7 при 1000 бросаниях пары кубиков. В каждом испытании кубики должны разыгрываться независимо. Подходящим считается результат, где сумма двух чисел равна 7.

1. Для каждого испытания отдельно получим два случайных числа от 1 до 6 и назовём их результатами первого и второго кубика.
2. Сложим числа и проверим условие «сумма = 7»; при выполнении условия увеличим счётчик успехов.
3. После 1000 испытаний разделим число успехов на 1000 и получим оценку вероятности.

Ответ. Теоретически подходящих пар 6 из 36, поэтому вероятность равна 1/6, или примерно 0,167. В моделировании доля может быть, например, 0,158 или 0,174, потому что 1000 испытаний не устраняют случайные отклонения полностью.

Игра до первой шестёрки

Условие. Участник бросает кубик до первого выпадения шестёрки. Нужно смоделировать 1000 игр и найти среднее число бросков. В каждой игре последовательность заканчивается сразу после первой шестёрки.

1. Запустим счётчик бросков для новой игры и будем получать числа от 1 до 6.
2. После каждого броска увеличим счётчик; если выпала 6, остановим текущую игру.
3. Запишем длину игры, повторим процедуру 1000 раз и разделим сумму длин на 1000.

Ответ. Полученное среднее будет оценкой среднего числа бросков и обычно окажется близким к 6. Точное значение конкретной серии заранее неизвестно: несколько длинных или коротких игр могут заметно изменить результат.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Короткую серию принимают за точную вероятность. Так происходит, потому что доля кажется готовым ответом, хотя случайные отклонения при малом числе испытаний велики. Проверьте себя: укажите объём серии и называйте результат именно оценкой.

Ошибка 2. Неверно связывают числа с исходами. Причина — забывают проверить размеры диапазонов и получают другие вероятности. Проверьте, что каждому исходу отведена доля чисел, соответствующая его вероятности.

Ошибка 3. Псевдослучайные числа считают полностью независимыми и истинно случайными. Это происходит из-за внешнего сходства последовательности со случайной. Проверьте, может ли она воспроизводиться при том же начальном значении и не обнаруживается ли заметный период.

Ошибка 4. Во время серии меняют правила процесса. Тогда результаты разных испытаний относятся уже к разным моделям и не складываются в одну статистику. Проверьте, одинаковы ли условия, диапазоны чисел и критерий окончания каждого испытания.

Связь с другими темами

До моделирования нужны понятия случайного события, исхода и вероятности, а также умение находить долю от общего числа. Эти знания позволяют правильно задать модель и истолковать результат.

Моделирование применяют при исследовании систем с большим числом случайных исходов, когда прямой расчёт сложен. Оно связано с алгоритмизацией и программированием: правила процесса записывают как алгоритм и реализуют на компьютере.

Что запомнить

• Модель должна сохранять существенные правила исходного случайного процесса.
• Случайные числа позволяют разыгрывать исходы процесса.
• Одно моделирование представляет собой серию испытаний.
• Оценка вероятности по модели — доля испытаний, в которых событие произошло.
• Чем больше испытаний, тем обычно надёжнее статистическая оценка.
• Результат моделирования — оценка, а не гарантия точного значения.