§ 27. Метод Монте-Карло

Определения и обозначения

Метод Монте-Карло — способ приближённо решать математические задачи с помощью случайных испытаний и обработки их результатов. Вместо прямого вычисления получают достаточно хорошую оценку по большой серии случайных опытов. Метод нужен, когда точная формула слишком сложна или неизвестна.

Случайное испытание — одно повторение моделирования, результат которого определяется случайным выбором. Например, это выбор координат точки или бросок двух костей. Отдельный опыт малоинформативен, но множество опытов позволяет обнаружить устойчивую закономерность.

Статистическая оценка — приближённое значение искомой величины, полученное по результатам серии испытаний. Она обычно вычисляется как доля нужных исходов, умноженная на известный коэффициент. Такая оценка показывает не точный ответ, а наиболее разумное приближение по имеющимся данным.

Относительная погрешность — отношение абсолютного отклонения оценки от точного значения к точному значению. Если точное значение равно A, а оценка равна A₁, то погрешность равна |A₁ − A|⁄|A|. Она показывает, какую долю от настоящей величины составляет ошибка.

Как это устроено

Математическую задачу можно заменить случайным процессом, если установить соответствие между исходами испытания и искомой величиной. Например, нужному событию сопоставляют попадание точки в фигуру, а его частоту — отношение площадей. Тогда вероятность события становится вычислимой через случайный эксперимент. Чем точнее модель отражает исходную задачу, тем осмысленнее результат.

Площадь фигуры оценивают так: выбирают прямоугольник, полностью её содержащий, и равномерно бросают в него точки. Затем считают число всех точек N и число точек m, попавших внутрь фигуры. Доля m⁄N приближает отношение площади фигуры к площади прямоугольника, поэтому S ≈ (m⁄N) · S₀. Равномерность выбора необходима: иначе одни участки будут представлены чаще других и доля исказится.

Для оценки числа π удобно взять четверть единичного круга внутри квадрата со стороной 1. Точка с координатами x и y попадает в четверть круга, если x² + y² ≤ 1. Отношение числа таких попаданий m к общему числу точек N приближает отношение площадей четверти круга и квадрата, то есть π⁄4. Поэтому π ≈ 4m⁄N.

Увеличение числа испытаний обычно уменьшает влияние случайных отклонений: отдельные удачные и неудачные результаты частично компенсируют друг друга. Однако конкретная следующая серия может случайно дать оценку дальше от точного значения, чем предыдущая. Поэтому улучшение не происходит обязательно на каждом шаге. Компьютерный эксперимент строят так: генерируют случайные данные, повторяют опыт, увеличивают нужный счётчик и после серии вычисляют оценку.

Этапы решения задачи методом Монте-Карло

Таблица показывает общий порядок работы: от постановки задачи до проверки результата. На этапе выбора модели нужно заранее понять, какое событие считать нужным и какую величину оно оценивает. После эксперимента полезно повторить расчёт с большим числом испытаний и сравнить значения.

Разбор задач

Площадь вписанного круга

Условие. В квадрате со стороной 2 случайно выбирают точки. По 100 испытаниям нужно оценить площадь вписанного круга радиуса 1. Площадь квадрата известна и равна 4, поэтому достаточно найти долю попаданий в круг.

1. Случайно выбираем координаты точки в квадрате, например x и y в пределах от −1 до 1.
2. Проверяем условие попадания в круг: x² + y² ≤ 1.
3. Пусть внутри круга оказались m точек из N = 100. Тогда оценка площади равна S ≈ (m⁄100) · 4.

Ответ. Если, например, в круг попали 79 точек, то S ≈ 79⁄100 · 4 = 3,16. Это приближённое значение, близкое к точному числу π, но результат другой серии может отличаться.

Оценка числа π

Условие. Провести 1000 испытаний в квадрате [0; 1] × [0; 1] и считать точку попавшей в четверть круга, если x² + y² ≤ 1. Нужно получить оценку π.

1. Генерируем 1000 пар случайных координат x и y от 0 до 1.
2. Для каждой пары проверяем указанное неравенство и увеличиваем счётчик m, если оно выполнено.
3. Вычисляем долю m⁄1000. Она оценивает не π, а π⁄4, потому что речь идёт о четверти круга.
4. Умножаем долю на 4: π ≈ 4m⁄1000.

Ответ. При m = 785 получим π ≈ 4 · 785⁄1000 = 3,14. Чем больше испытаний, тем обычно ближе результат к π.

Сумма очков двух костей

Условие. Смоделировать вероятность суммы 7 при броске двух костей и сравнить 100 и 10 000 испытаний. Теоретическая вероятность равна 6⁄36 = 1⁄6, поскольку подходящих пар шесть из 36.

1. В каждом опыте независимо выбираем число от 1 до 6 для первой и второй кости.
2. Увеличиваем счётчик успехов, если сумма двух чисел равна 7.
3. После серии вычисляем частоту p ≈ m⁄N сначала для N = 100, затем для N = 10 000.
4. Сравниваем обе частоты с 1⁄6 и смотрим, какая обычно ближе к теоретическому значению.

Ответ. Например, частоты могут составить 0,14 и 0,167. Вторая оценка обычно надёжнее, хотя отдельный запуск на 100 испытаний иногда случайно оказывается ближе.

Типичные ошибки

Считать небольшую серию точной. При малом числе опытов случайные отклонения могут быть большими, поэтому частота ещё не отражает устойчивую вероятность. Проверьте себя, увеличив число испытаний и сравнив несколько запусков.

Использовать неверное отношение площадей или забывать множитель 4. Для четверти круга отношение попаданий даёт π⁄4, а не π. Перед вычислением подпишите, какую именно фигуру и какую область сравниваете.

Выбирать точки неравномерно. Если некоторые части области получают больше точек, частота попаданий уже не пропорциональна площади. Проверьте диапазоны генератора и мысленно убедитесь, что вся область имеет одинаковый шанс выбора.

Ожидать улучшения после каждого испытания. Новая случайная точка может временно отдалить оценку от точного значения. Оценивайте не один шаг, а общую тенденцию при большом числе опытов.

Связь с другими темами

Для метода нужны представления о вероятности, случайных событиях и относительной частоте: именно частота нужных исходов становится основой оценки. Также необходимы знания о площадях фигур, чтобы связывать долю попаданий с искомой площадью или числом π. Метод применяют в компьютерном моделировании, при оценке вероятностей и приближённых вычислениях, когда точный расчёт затруднён.

Что запомнить

• Метод Монте-Карло заменяет вычисление серией случайных испытаний.
• Случайная модель должна соответствовать исходной задаче.
• Оценку часто находят по относительной частоте нужных исходов.
• При оценке площади долю попаданий умножают на площадь всей области выбора.
• Чем больше испытаний, тем обычно надёжнее оценка.
• Случайная оценка не обязана улучшаться при каждом увеличении числа испытаний.