"Информатика (базовый уровень) (в 2 частях)", Под ред. Макаровой Н.В.
Система счисления — это способ записывать числа с помощью определённых цифр и правил. В позиционных системах значение цифры зависит от разряда, а основание показывает, сколько цифр можно использовать. Эти правила позволяют представлять числа в двоичном, восьмеричном, десятичном и шестнадцатеричном виде, переводить их друг в друга и понимать, как числа хранятся и обрабатываются в компьютере.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи и наименования чисел с помощью определённых цифр и правил. Например, привычная десятичная запись использует цифры от 0 до 9. Это понятие нужно, чтобы понимать, по каким правилам построено число и как его переводить в другую форму.
Основание системы счисления — количество цифр, используемых в системе; оно определяет вес каждого разряда. Основание обычно обозначают буквой b, например b = 2 для двоичной системы. Зная основание, можно определить допустимые цифры и множители разрядов.
Цифра — знак, с помощью которого записывают числа; её значение может зависеть от положения. Например, цифра 5 в записи 50 обозначает пять десятков, а в записи 500 — пять сотен. Цифры являются строительными элементами числовой записи, но сами по себе не всегда задают всё число.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её собственной величиной и занимаемым разрядом. Разряд — это место цифры в записи, связанное с определённой степенью основания. Такое устройство позволяет одной и той же цифрой обозначать единицы, десятки, сотни и другие величины.
В позиционной десятичной записи цифра меняет значение при перемещении: в числе 222 крайняя справа двойка означает две единицы, следующая — два десятка, а левая — две сотни. В римской записи символы имеют закреплённые значения: I — единица, V — пять, X — десять. Там положение влияет на действие с символами, но не образует последовательность разрядов с постоянным основанием, как в десятичной системе.
Основание задаёт набор допустимых цифр, потому что после достижения значения основания нужен новый разряд. В системе с основанием b используются цифры от 0 до b − 1: в двоичной только 0 и 1, а в восьмеричной — от 0 до 7. Цифра b уже означала бы целую единицу следующего разряда, поэтому отдельно в этой системе не используется.
Значение позиционной записи находят как сумму произведений цифр на степени основания. Например, 101101₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰. Нулевые слагаемые можно не считать, но их разряды сохраняют положение остальных цифр.
Соседние разряды отличаются в b раз, потому что каждая следующая степень основания получается умножением предыдущей на b. В десятичной системе это переход от единиц к десяткам, а в двоичной — от 1 к 2, 4, 8 и далее. Когда в разряде накапливается b единиц, в нём записывают 0 и переносят 1 в соседний разряд слева.
Двоичная система удобна компьютерам, поскольку электронные элементы легко различают два состояния: условно включено и выключено. Восьмеричная запись компактнее двоичной и группирует биты по три, а шестнадцатеричная — по четыре. Десятичная остаётся привычной для людей и используется в обычных вычислениях, тогда как двоичная и шестнадцатеричная особенно полезны при работе с памятью, кодами и машинными данными.
| Система счисления | Основание | Допустимые цифры | Вес соседних разрядов | Пример записи |
|---|---|---|---|---|
| Двоичная | 2 | 0, 1 | В 2 раза | 101101₂ |
| Восьмеричная | 8 | 0–7 | В 8 раз | 157₈ |
| Десятичная | 10 | 0–9 | В 10 раз | 348₁₀ |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A–F | В 16 раз | 3A7₁₆ |
По таблице сначала определяют основание, затем проверяют допустимость каждой цифры. Последний столбец показывает пример записи, а нижний индекс уточняет систему счисления. Если индекс не указан, в обычной математической записи чаще всего подразумевают десятичную систему.
Связь между разрядами помогает быстро оценить порядок числа. Например, в шестнадцатеричной системе соседний разряд в 16 раз тяжелее предыдущего, поэтому запись получается короче двоичной.
Нужно найти значение двоичной записи, а не прочитать её как обычную последовательность цифр. Справа налево разрядам соответствуют степени двойки от 0 до 5. После этого складываются только те веса, напротив которых стоят единицы.
Ответ: 101101₂ = 45₁₀.
При переводе делением каждый остаток показывает очередную цифру, начиная с самого правого разряда. Поэтому остатки нельзя сразу записывать слева направо. Делим частное до тех пор, пока оно не станет равным нулю.
Ответ: 157₁₀ = 10011101₂. Проверка: 128 + 16 + 8 + 4 + 1 = 157.
В шестнадцатеричной системе буква A обозначает число 10. Для десятичного перевода используем степени 16, а для двоичного достаточно заменить каждую шестнадцатеричную цифру четырьмя битами. Такой способ работает потому, что 16 = 2⁴.
Ответ: 3A7₁₆ = 935₁₀ = 1110100111₂.
Недопустимая цифра. Например, запись 102₂ невозможна, потому что в двоичной системе разрешены только 0 и 1. Проверяйте каждую цифру: она должна быть меньше основания.
Чтение без степеней. Иногда 101101₂ воспринимают просто как число 101101. Ошибка возникает из-за привычки к десятичной записи; расставьте степени основания над разрядами и умножьте каждую цифру на её вес.
Неверный порядок остатков. При делении первый остаток относится к младшему разряду, поэтому остатки читают снизу вверх. Для проверки выполните обратное разложение полученной записи по степеням основания.
Путаница с A–F. В шестнадцатеричной системе A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Запишите эту шкалу рядом с решением и убедитесь, что ни одна буква не получила неверное значение.
До изучения систем счисления нужны натуральные числа, степени с натуральными показателями, а также правила сложения и умножения. Эти знания позволяют вычислять веса разрядов и выполнять разложения.
Тема связана с представлением чисел в памяти компьютера, кодированием информации и устройством процессора. Компьютер работает с двоичными данными, а шестнадцатеричная запись помогает человеку читать их компактнее.
Знание систем счисления понадобится в алгоритмах перевода чисел и при работе с двоичными и шестнадцатеричными данными. Оно также помогает проверять результаты вычислений обратным преобразованием.
Почему в двоичной системе нельзя использовать цифру 2?
У двоичной системы основание 2, поэтому в ней всего две допустимые цифры: 0 и 1. Цифра 2 уже не входит в этот набор и появляется только после переноса в следующий разряд.
Чем цифра отличается от числа?
Цифра — это отдельный знак для записи чисел, например 0, 5 или A в шестнадцатеричной системе. Число может состоять из одной или нескольких цифр, а его значение определяется всей записью и положением знаков.
Почему значение одной и той же цифры меняется в разных разрядах?
Каждый разряд имеет собственный вес, равный степени основания системы. Поэтому цифра 3 в числе 30 означает три десятка, а в числе 300 — три сотни.
Зачем в информатике нужны восьмеричная и шестнадцатеричная системы?
Они сокращают запись длинных двоичных последовательностей. Одна восьмеричная цифра заменяет три двоичных разряда, а одна шестнадцатеричная — четыре.
Как быстро проверить правильность перевода числа из одной системы счисления в другую?
Можно выполнить обратный перевод и проверить, получилось ли исходное число. Также нужно убедиться, что все цифры допустимы для основания, а при двоично-шестнадцатеричном переводе — сравнить группы по четыре бита.
Общие сведения о системах счисления
