"Информатика (базовый уровень) (в 2 частях)", Под ред. Макаровой Н.В.
Соотношение систем счисления помогает быстро переводить числа между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами. Оно основано на том, что 8 = 2³, а 16 = 2⁴: поэтому три двоичных разряда заменяются одной восьмеричной цифрой, а четыре — одной шестнадцатеричной. Главное правило — группировать двоичную запись справа налево и дополнять нулями только старшую неполную группу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи чисел с помощью определённого набора цифр и правил. Например, в двоичной системе используются только 0 и 1, а в десятичной — цифры от 0 до 9. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему одна и та же запись может иметь разные значения.
Основание системы счисления — количество цифр в её алфавите. Оно определяет, во сколько раз возрастает значение каждого следующего разряда: в системе с основанием 2 это степени двойки, а в системе с основанием 16 — степени шестнадцати. По основанию можно установить правила записи и перевода чисел.
Позиционная запись числа — представление, в котором значение цифры зависит от её места и основания системы. Например, в числе 25₁₀ цифра 2 означает два десятка, а цифра 5 — пять единиц. Благодаря этому число можно разложить на сумму значений разрядов.
Триада — группа из трёх двоичных разрядов, соответствующая одной восьмеричной цифре, а тетрада — группа из четырёх разрядов, соответствующая одной шестнадцатеричной цифре. Такие группы позволяют заменять части двоичной записи готовыми цифрами. Поэтому перевод между этими системами выполняется быстро и без повторного вычисления всего числа.
В позиционной системе каждый разряд соответствует определённой степени основания. Например, в двоичной записи справа налево стоят 2⁰, 2¹, 2² и так далее, поэтому число 1011₂ равно 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰. Такая запись работает потому, что переход на один разряд влево увеличивает вес цифры в два раза. Именно разрядная структура позволяет сравнивать и преобразовывать записи чисел.
Основание восьмеричной системы равно 8, а 8 = 2³. Три двоичных разряда дают 2³ = 8 комбинаций: от 000 до 111, поэтому ими можно закодировать все восьмеричные цифры от 0 до 7. Значит, каждая триада имеет ровно одного восьмеричного двойника, и перевод сводится к простой замене группы.
Основание шестнадцатеричной системы равно 16, а 16 = 2⁴. Четыре двоичных разряда образуют 2⁴ = 16 комбинаций — от 0000 до 1111. Этого достаточно для цифр 0–9 и обозначений A–F, поэтому одна тетрада точно соответствует одной шестнадцатеричной цифре.
При переводе двоичного числа в восьмеричное запись делят на триады, а в шестнадцатеричное — на тетрады. Деление начинают справа, поскольку именно справа находятся младшие разряды, и их положение нельзя сместить. Если слева осталась короткая группа, её дополняют нулями слева: например, 101101₂ при группировке по три уже распадается на 101 и 101, а для тетрад 11010110₂ распадается на 1101 и 0110.
После группировки каждую двоичную группу заменяют цифрой целевой системы. Обратный перевод выполняют в обратном порядке: восьмеричную цифру раскрывают в триаду, а шестнадцатеричную — в тетраду, включая начальные нули. Такой способ сохраняет значение каждого разряда, потому что группы имеют одинаковые веса внутри исходной двоичной записи. Поэтому результат можно получить почти устно, если хорошо знать таблицу соответствий.
| Система счисления | Основание | Сколько двоичных разрядов соответствует одной цифре | Правило группировки двоичной записи | Соответствие цифр двоичным группам |
|---|---|---|---|---|
| Восьмеричная | 8 | 3 | Группы по три разряда справа налево | 000₂ = 0₈, 001₂ = 1₈, …, 111₂ = 7₈ |
| Шестнадцатеричная | 16 | 4 | Группы по четыре разряда справа налево | 0000₂ = 0₁₆, 0001₂ = 1₁₆, …, 1111₂ = F₁₆ |
| Шестнадцатеричные цифры A–F соответствуют десятичным значениям 10–15. | ||||
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите размер группы: три разряда для восьмеричной системы или четыре для шестнадцатеричной. Затем найдите получившуюся двоичную комбинацию и замените её одной цифрой. При обратном переводе достаточно взять строку с нужной цифрой и записать соответствующую группу, не удаляя начальные нули.
Нужно заменить двоичную запись цифрами восьмеричной системы. Поскольку основание 8 равно 2³, используем группы по три разряда. Запись уже имеет длину, кратную трём, поэтому добавлять нули не требуется.
Ответ: 101101₂ = 55₈.
Здесь основание 16 связано с четырьмя двоичными разрядами, поэтому запись нужно разделить на тетрады. В числе восемь разрядов, значит, обе группы будут полными. После замены групп буквенная цифра может появиться, если значение тетрады больше 9.
Ответ: 11010110₂ = D6₁₆.
Каждую шестнадцатеричную цифру заменяем отдельной тетрадой. Начальные нули в тетраде сохраняем, иначе запись может потерять правильное положение разрядов. Затем проверим результат разложением обоих чисел по степеням основания.
Ответ: 3A₁₆ = 00111010₂ = 58₁₀; проверка подтверждает результат.
Группировка слева направо. Так можно случайно сместить границы групп относительно младших разрядов. Ошибка возникает потому, что запись привычно читают слева направо; проверьте себя, поставив разделители от правого края.
Дополнение нулями младшей группы. Нули слева перед старшей цифрой сохраняют число, а нули справа увеличивают разрядность и меняют значение. Если группа неполная, добавляйте нули только перед ней, то есть с её левой стороны.
Одна восьмеричная цифра — четыре бита. Такое соответствие ошибочно: четыре бита нужны шестнадцатеричной цифре. Проверка проста: из равенства 8 = 2³ следует, что для восьмеричной цифры нужна именно триада.
Запись значений 10–15 обычными цифрами. В шестнадцатеричной системе после 9 идут A, B, C, D, E и F. Сверяйте значение тетрады с диапазоном: 1010₂ = A, а 1111₂ = F.
Для понимания темы нужны позиционная запись числа, понятие основания системы счисления и разложение числа по степеням основания. Эти знания объясняют, почему положение каждого бита влияет на общий результат. Без них механическая замена групп может привести к ошибкам.
Соотношение систем счисления используется при переводе чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами. Оно особенно полезно при чтении компьютерных данных, где двоичные последовательности часто сокращают с помощью восьмеричных или шестнадцатеричных записей. Так большие наборы битов становятся короче и удобнее для человека.
Почему восьмеричная и шестнадцатеричная системы удобно связаны с двоичной?
Основания 8 и 16 являются степенями двойки: 8 = 2³, 16 = 2⁴. Поэтому цифры этих систем можно напрямую сопоставлять с группами двоичных разрядов, не выполняя длинное деление.
Почему при переводе в восьмеричную систему двоичные цифры группируют по три?
Восьмеричная система имеет основание 8, а 8 = 2³. Значит, три бита могут принять 2³ = 8 разных комбинаций — ровно столько, сколько цифр есть в восьмеричной системе.
С какой стороны начинать группировать двоичную запись?
Группы составляют справа налево, начиная с младшего разряда. Так сохраняется соответствие разрядов исходного числа их значениям.
Что делать, если в старшей группе не хватает разрядов?
Старшую неполную группу дополняют нулями слева. Такое дополнение не меняет значение числа, потому что нули перед первой значащей цифрой не влияют на его величину.
Почему в шестнадцатеричной системе используются буквы A–F?
В шестнадцатеричной системе нужно 16 цифр, а привычных десяти цифр недостаточно. Поэтому значения от 10 до 15 обозначают буквами A, B, C, D, E и F.
Соотношение систем счисления
