"Информатика", Горячев А.В., Суворова Н.И.
Множество — это группа объектов, которую рассматривают как единое целое. Его можно задать списком элементов или общим свойством, а принадлежность объекта обозначить знаками ∈ и ∉. Сравнивая множества, выясняют, входит ли одно в другое: такое отношение называют подмножеством. Пересечение показывает, какие элементы есть сразу в нескольких множествах. Эти понятия помогают упорядочивать объекты и решать задачи о совпадающих группах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, числа 2, 4 и 6 можно объединить в множество A = {2, 4, 6}. Задать множество можно перечислением элементов или указанием общего свойства, которым обладают все его элементы. Это позволяет описывать как небольшие группы, так и большие наборы объектов.
Элемент множества — объект, который входит в это множество. Запись 4 ∈ A читают «четыре принадлежит множеству A», а 5 ∉ A — «пять не принадлежит множеству A». Эти обозначения помогают коротко записать результат проверки и не спутать объект с группой, в которую он входит.
Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Если каждый элемент A есть в B, пишут A ⊆ B и говорят, что A является подмножеством B. Такая запись удобна, когда нужно показать, что одна группа целиком входит в более широкую группу.
Пересечение множеств — множество элементов, одновременно принадлежащих каждому из рассматриваемых множеств. Пересечение A и B обозначают A ∩ B. Этот знак помогает выделить общую часть групп, например учеников, которые занимаются и спортом, и музыкой.
Множество можно задать перечислением, если все его элементы известны и их немного: например, A = {1, 3, 5}. Другой способ — назвать свойство, которому отвечает каждый элемент, например «нечётные числа меньше 7». Описание свойством полезно, когда список длинный или его трудно выписать целиком. В обоих случаях важно, чтобы было понятно, какие объекты входят в группу, а какие нет.
Чтобы проверить принадлежность объекта, сначала выясняют, как задано множество. В списке ищут нужный объект, а при заданном свойстве проверяют, выполняет ли он это условие. Если объект подходит, используют ∈, если не подходит — ∉. Такое различение нужно потому, что объект и множество — не одно и то же: например, число 2 может принадлежать множеству чётных чисел, но само не является этим множеством.
Условие A ⊆ B проверяют не по одному случайному элементу, а по всем элементам A. Каждый из них должен встречаться в B; если хотя бы один не входит в B, утверждение неверно. Например, для A = {1, 2} и B = {1, 2, 3} оба элемента A найдутся в B, поэтому A ⊆ B. Именно проверка всех элементов отличает доказательство включения от простого предположения.
Чтобы найти пересечение, сравнивают элементы двух множеств и оставляют только те, которые встречаются в обоих. Например, если A = {1, 2, 4}, а B = {2, 3, 4}, то A ∩ B = {2, 4}. Элементы, которые есть только в одном из множеств, в ответ не входят. Если совпадений нет, пересечение пусто: у двух групп нет ни одного общего элемента.
Один объект может одновременно принадлежать нескольким множествам, если отвечает условиям каждого из них. Например, ученик может заниматься и спортом, и музыкой, поэтому он входит в обе группы. Похожим образом одно множество может быть подмножеством нескольких множеств: например, группа учеников класса может целиком входить и в множество всех учеников школы, и в множество всех учеников своего возраста. Важно каждый раз проверять именно нужное отношение, а не только сходство названий групп.
| Понятие или отношение | Обозначение | Что означает | Пример |
|---|---|---|---|
| Элемент принадлежит множеству | a ∈ A | Объект a входит в A | 4 ∈ {2, 4, 6} |
| Элемент не принадлежит множеству | a ∉ A | Объект a не входит в A | 5 ∉ {2, 4, 6} |
| Одно множество является подмножеством другого | A ⊆ B | Каждый элемент A входит в B | {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} |
| Пересечение множеств | A ∩ B | Общие элементы A и B | {1, 2} ∩ {2, 3} = {2} |
Сначала определите, что именно сравнивается: отдельный объект или два множества. Затем выберите соответствующий знак и проверьте условие по определению. В примерах таблицы каждое множество записано без повторов элементов.
Задача 1. Дано множество A = {2, 4, 6, 8}. Определите, принадлежат ли ему числа 4 и 5. Здесь множество задано перечислением, поэтому достаточно проверить наличие каждого числа в списке. Важно записать ответ отдельно для обоих чисел, не делать вывод об одном на основании другого.
Ответ: 4 принадлежит A, а 5 не принадлежит A. Записи со знаками показывают отношение каждого числа к множеству.
Задача 2. Дано A = {1, 2} и B = {1, 2, 3, 4}. Определите, является ли A подмножеством B. Для этого нужно убедиться, что каждый элемент A встречается в B, а не просто проверить, что множества имеют хотя бы один общий элемент. Перечислим элементы меньшего множества и проверим их по очереди.
Ответ: A ⊆ B. Если бы хотя бы одного элемента A не оказалось в B, включение установить было бы нельзя.
Задача 3. В классе 18 учеников занимаются спортом, 12 — музыкой, а 7 — и спортом, и музыкой. Представьте множества занимающихся спортом и музыкой и найдите число учеников, принадлежащих обоим множествам. Пусть S — множество учеников, занимающихся спортом, а M — множество учеников, занимающихся музыкой. По условию общая часть этих групп содержит 7 учеников.
Ответ: в пересечении S ∩ M находятся 7 учеников. Числа 18 и 12 описывают размеры отдельных множеств, а для ответа о пересечении используется указанное в условии число общих участников.
Иногда запись a ∈ A читают так, будто множество A является элементом a. Это путает объект и группу: знак говорит, что именно a принадлежит A. Ошибку легче заметить, если прочитать запись словами слева направо: «a принадлежит A». Например, 4 ∈ {2, 4, 6}, а не наоборот.
При проверке подмножества могут проверить только часть элементов и на этом остановиться. Так можно пропустить элемент, которого нет во втором множестве, и ошибочно подтвердить включение. Условие требует проверки каждого элемента меньшего множества. Перед записью A ⊆ B пересчитайте элементы A и убедитесь, что для каждого найден соответствующий элемент в B.
При поиске пересечения иногда записывают все элементы, которые есть хотя бы в одном множестве. Так находят не общую часть, а объединение групп, поэтому в ответ попадают лишние элементы. Проверяйте каждый кандидат вопросом: «Есть ли он одновременно в обоих множествах?» Если нет — в пересечение его включать нельзя.
В записи множества или пересечения могут повторять один и тот же элемент. Это не добавляет нового объекта и делает запись неверной или неаккуратной. Перечисляйте каждый элемент только один раз, даже если он встречается в нескольких исходных списках. Для самопроверки сравните ответ с перечнями: совпадения должны быть сохранены без дублей.
Перед изучением множеств полезно уметь сравнивать объекты по заданному свойству, перечислять их и читать простые математические обозначения. Эти умения помогают определить, какие объекты входят в группу, и правильно записать результат. Понятия множества и подмножества применяют при классификации объектов и описании групп чисел. Пересечение используют в задачах об объединении групп и подсчёте общих элементов, например при выяснении, сколько человек занимается сразу двумя делами.
Чем множество отличается от его элемента?
Множество — это группа объектов, а элемент — один объект из этой группы. Например, в A = {2, 4, 6} число 4 является элементом множества A. Запись 4 ∈ A показывает это отношение.
Как проверить, принадлежит ли объект множеству?
Если множество задано перечислением, найдите объект в списке. Если оно задано свойством, проверьте, обладает ли объект этим свойством. Затем запишите результат знаком ∈ или ∉.
Что означает, что одно множество является подмножеством другого?
Это означает, что каждый элемент первого множества входит во второе. Например, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}, потому что оба элемента первого множества есть во втором. Для проверки нужно рассмотреть все элементы меньшего множества.
Как найти пересечение двух множеств?
Нужно найти элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Каждый такой элемент записывают в пересечение один раз. Если общих элементов нет, пересечение пусто.
Что записывают в пересечение, если у множеств нет общих элементов?
В этом случае пересечение называют пустым множеством и обозначают ∅. В нём нет ни одного элемента, поскольку ни один объект не принадлежит обоим множествам одновременно.
§ 10. Множество. Подмножество. Пересечение множеств
