"Информатика", Горячев А.В., Суворова Н.И.
Высказывания с «НЕ», «И» и «ИЛИ» помогают строить более сложные логические фразы из простых. Каждой такой фразе можно присвоить одно из двух значений: истина или ложь. Отрицание меняет значение на противоположное, «И» требует истинности обеих частей, а «ИЛИ» — хотя бы одной. Эти правила нужны, чтобы проверять условия в задачах и алгоритмах, а также правильно читать логические выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Земля вращается вокруг Солнца» является высказыванием, а вопрос таким свойством не обладает. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие фразы можно проверять с помощью логических правил.
Отрицание высказывания — новое высказывание со словом «НЕ», меняющее значение исходного на противоположное. Если A означает «Сегодня солнечно», то НЕ A означает «Сегодня не солнечно». Отрицание помогает выразить, что исходное утверждение неверно.
Конъюнкция — составное высказывание, образованное соединением двух высказываний словом «И». Её можно записать как A И B, где A и B — исходные части. Такая запись нужна, когда должны одновременно выполняться два условия.
Дизъюнкция — составное высказывание, образованное соединением двух высказываний словом «ИЛИ». Её обозначают A ИЛИ B. Она позволяет сказать, что достаточно выполнения хотя бы одного из двух условий.
Каждому высказыванию присваивается одно из двух логических значений: истина или ложь. Это возможно потому, что высказывание сообщает нечто определённое, что можно проверить. Например, для фразы «Число 8 чётное» проверка даёт однозначный результат — истина. Вопрос «Какое сегодня число?» значения истины или лжи не имеет, пока он остаётся вопросом.
Отрицание меняет истинность исходной фразы на противоположную. Если утверждение верно, сообщение о том, что оно неверно, будет ложным; если утверждение ошибочно, его отрицание окажется верным. Иначе говоря, отрицание исключает исходный вариант и оставляет второй из двух возможных. Поэтому для НЕ A достаточно знать значение A.
Высказывание с «И» истинно только при истинности обоих исходных высказываний. Смысл соединения в том, что должны выполниться сразу два условия: невыполнение хотя бы одного уже делает всё требование невыполненным. Например, фраза «Число делится на 2 и на 3» верна лишь тогда, когда число делится и на 2, и на 3. Если одна часть ложна, истинной целая фраза быть не может.
Высказывание с «ИЛИ» истинно, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний. Для выполнения такого условия достаточно одного подходящего варианта, но ничто не запрещает выполниться обоим. Поэтому A ИЛИ B истинно и в случае, когда A и B одновременно истинны. Ложным оно становится только тогда, когда ложны обе части.
Значение сложной фразы находят по значениям её частей, выполняя операции по порядку. Сначала проверяют простые высказывания, затем вычисляют выражения в скобках, после чего учитывают отрицание и соединения частей. Скобки важны, потому что показывают, какие слова образуют единое условие. Например, НЕ (A ИЛИ B) означает отрицание всей дизъюнкции, а не только B.
| Операция | Обозначение | Когда высказывание истинно | Когда высказывание ложно |
|---|---|---|---|
| НЕ | НЕ A | Когда A ложно | Когда A истинно |
| И | A И B | Когда A и B истинны | Когда хотя бы одна часть ложна |
| ИЛИ | A ИЛИ B | Когда истинна хотя бы одна часть, в том числе обе | Когда A и B ложны |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала установи истинность каждой простой части высказывания. Затем найди в таблице нужную операцию и проверь, подходит ли сочетание значений под условие истинности. Если выражение сложное, применяй правила по частям, не теряя скобки.
Задача 1. Определить истинность высказывания «Число 7 нечётное» и его отрицания. Сначала проверим исходную фразу, затем применим правило для НЕ. Нужно помнить, что отрицание не уточняет свойство числа, а меняет истинность всей фразы на противоположную.
Ответ: исходное высказывание истинно, его отрицание ложно. Проверка показывает, что для НЕ не требуется заново изучать число: достаточно изменить значение исходного высказывания на противоположное.
Задача 2. Определить истинность фразы «Число 12 делится на 3 и на 4». Здесь соединены две части словом «И», поэтому каждая проверяется отдельно. Только после этого можно решить, истинно ли всё высказывание.
Ответ: высказывание истинно. Если бы число не делилось хотя бы на одно из этих чисел, всё высказывание с «И» было бы ложным.
Задача 3. Определить истинность фразы «Число делится на 2 или делится на 5, но не делится на 10» для чисел 10, 14 и 15. Запишем условие как (A ИЛИ B) И НЕ C: A — делится на 2, B — делится на 5, C — делится на 10. Скобки показывают, что сначала объединяются первые два условия, а затем результат соединяется с отрицанием C.
Ответ: для числа 10 высказывание ложно, для 14 и 15 — истинно. В этой задаче важно не ограничиваться проверкой «ИЛИ»: после неё нужно отдельно учесть условие НЕ C и соединение с «И».
Первая ошибка — считать высказывание с «И» истинным, когда истинна только одна его часть. Так происходит, если правило «И» путают с правилом «ИЛИ». Проверь себя вопросом: выполнены ли оба условия одновременно? Если нет, соединение с «И» ложно.
Вторая ошибка — понимать логическое «ИЛИ» как обязательный выбор только одного варианта. В обычной речи это иногда подразумевается, но логическое правило допускает истинность обеих частей. Для самопроверки проверь все случаи: «ИЛИ» ложно лишь тогда, когда ложны обе части.
Третья ошибка — применить «НЕ» не к той части составного высказывания. Её допускают, когда читают длинную фразу невнимательно и не учитывают скобки. Перепиши выражение со скобками и проверь, какая именно часть стоит после НЕ или заключена после него в скобки.
Четвёртая ошибка — путать само высказывание с его истинностным значением. Высказывание — это фраза, например «Число 7 нечётное», а истина или ложь — результат её проверки. Чтобы не смешивать их, сначала назови фразу, а затем отдельно укажи, какое значение она имеет.
Для работы с этой темой нужно уметь отличать высказывания от вопросов и других предложений, а также проверять истинность утверждений. Значения «истина» и «ложь» служат основой для всех операций с логическими фразами. Без этого нельзя верно применить таблицу правил.
Логические операции используются при записи условий в алгоритмах и конструкциях ветвления. Например, программа может выполнить действие, только если одновременно соблюдены несколько требований, или выбрать его при выполнении хотя бы одного условия. Такие же правила применяют при составлении логических выражений в программах, электронных таблицах и системах поиска.
Может ли высказывание быть одновременно истинным и ложным?
Нет, у высказывания в логике только одно значение: истина или ложь. Если фраза допускает разные ответы из-за нехватки условий или не имеет ясного смысла, её нельзя считать высказыванием.
Чем логическое «ИЛИ» отличается от обычного понимания слова «или»?
В логике «ИЛИ» означает, что истинна хотя бы одна из частей. Оно остаётся истинным и тогда, когда истинны обе части, поэтому здесь не требуется выбирать только один вариант.
Почему выражение с «И» ложно, если одна его часть ложна?
Слово «И» требует выполнения обоих условий одновременно. Если хотя бы одно условие не выполнено, всё составное высказывание уже не соответствует этому требованию.
Как понять, к чему относится слово «НЕ» в сложном высказывании?
Нужно посмотреть на порядок слов и на скобки: они показывают, какую часть отрицают. Если перед «НЕ» заключено в скобки целое выражение, отрицание меняет значение всего выражения, а не одной его части.
Зачем нужны скобки в логических выражениях?
Скобки показывают, какие части нужно объединить или проверить в первую очередь. С ними проще не перепутать, относится ли отрицание к одному высказыванию или ко всему составному выражению.
§ 11. Высказывания со словами «НЕ», «И», «ИЛИ»
