§ 11. Пересечение множеств. Слова «НЕ», «И», «ИЛИ»

Определения и обозначения

Пересечение множеств — это множество элементов, которые принадлежат каждому из рассматриваемых множеств; его обозначают A ∩ B. Например, если элемент есть и в A, и в B, он попадёт в их пересечение. Эта операция нужна, когда требуется найти общую часть двух наборов или оставить объекты, отвечающие сразу нескольким условиям.

Объединение множеств — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из рассматриваемых множеств; его обозначают A ∪ B. В него включают элементы из обоих наборов, но одинаковые элементы записывают только один раз. Объединение помогает собрать все объекты, подходящие хотя бы под одно из условий.

Отрицание высказывания — новое высказывание, утверждающее, что исходное неверно; его обозначают словом «НЕ». Если P — высказывание «число чётное», то НЕ P означает «число не чётное». Отрицание нужно, чтобы выразить противоположную истинность исходной фразы и точно описать условие.

Конъюнкция («И») истинна, когда истинны оба высказывания, а дизъюнкция («ИЛИ») — когда истинно хотя бы одно. Например, «число больше 2 И меньше 8» требует выполнения двух условий. Эти связки позволяют соединять простые утверждения в одно составное и проверять его по понятным правилам.

Как это устроено

Чтобы найти пересечение, проверяй элементы заданных множеств и оставляй только те, которые встречаются во всех. Причина в самом смысле пересечения: элемент должен одновременно принадлежать каждому набору. Если он есть хотя бы в одном множестве, но отсутствует в другом, условие для пересечения не выполнено. Поэтому удобно просматривать элементы одного множества и для каждого проверять наличие во всех остальных.

Для объединения нужно собрать элементы обоих множеств, не повторяя одинаковые. Элемент может попасть в объединение уже потому, что он есть хотя бы в одном наборе, поэтому общие элементы тоже включаются. Повторная запись не создаёт нового элемента: множество описывает, какие элементы есть, а не сколько раз они встретились. Проверка без повторов помогает получить правильный итоговый набор.

Связь множеств с высказываниями видна при отборе объектов по условиям. Принадлежать пересечению значит выполнить одновременно условие для A и условие для B, поэтому пересечение соответствует слову «И». Принадлежать объединению достаточно за счёт одного из наборов, поэтому оно соответствует «ИЛИ». Такой перевод позволяет заменить словесное условие проверкой принадлежности множествам.

Истинность составного высказывания находят не на слух, а по истинности его частей. Для «И» обе части должны быть истинными: если хотя бы одна ложна, всё высказывание ложно. Для «ИЛИ» достаточно истинности хотя бы одной части, а если ложны обе — всё высказывание ложно. «НЕ» меняет значение одной фразы на противоположное: истинное становится ложным, ложное — истинным.

В математике «ИЛИ» является включающим: оно допускает не только первый или второй вариант, но и оба сразу. Это связано с правилом «хотя бы одно», которое не запрещает одновременное выполнение условий. В обычном разговоре «или» иногда понимают как выбор только одного варианта, например одного блюда. При решении математических задач нужно ориентироваться на правило включающего «ИЛИ», если отдельно не сказано иное.

Операции над множествами и логические связки

Пользуйся таблицей, чтобы быстро отличать операции над множествами от связок в высказываниях и проверять их условия. Сначала выясни, что требуется: общие элементы, все подходящие элементы или истинность фразы. Затем применяй правило из третьего столбца.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}. Найдите A ∩ B и A ∪ B. Сначала решим задачу для пересечения, а затем проверим, что каждый элемент объединения записан ровно один раз.

1. Просматриваем элементы A: 1 и 2 отсутствуют в B, поэтому в пересечение не входят.
2. Числа 3 и 4 есть и в A, и в B. Значит, A ∩ B = {3, 4}.
3. Для объединения перечисляем все элементы обоих множеств и оставляем по одному экземпляру каждого: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: A ∩ B = {3, 4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Пересечение содержит только общие числа, а объединение — все встречающиеся числа.

Задача 2. Определите истинность высказывания: «Число 7 больше 5 И число 7 чётное». Затем запишите его отрицание. В составной фразе два простых утверждения, поэтому проверим каждое отдельно, прежде чем применить правило «И».

1. Утверждение «7 больше 5» истинно.
2. Утверждение «7 чётное» ложно. Так как для «И» нужны две истинные части, вся фраза ложна.
3. Отрицание исходной фразы утверждает, что она неверна. Его можно записать: «Неверно, что 7 больше 5 И 7 чётное».

Ответ: исходное высказывание ложно, его отрицание истинно. Здесь НЕ относится ко всей составной фразе, а не только к одному из её условий.

Задача 3. Из чисел от 1 до 12 составьте множество чисел, которые делятся на 2 ИЛИ на 3, и множество чисел, которые делятся на 2 И на 3. Требуется проверить каждое число по обоим условиям: для «ИЛИ» подойдёт хотя бы одно, для «И» — оба.

1. Делятся на 2 числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, а на 3 — 3, 6, 9, 12.
2. Для «ИЛИ» объединяем оба списка, не повторяя числа 6 и 12: {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.
3. Для «И» оставляем общие числа списков: {6, 12}. Они делятся и на 2, и на 3.

Ответ: для «ИЛИ» получаем {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}, для «И» — {6, 12}. Результат для «ИЛИ» шире, потому что включает числа, подошедшие хотя бы по одному признаку.

Типичные ошибки

Ошибка: в пересечение записывают все элементы двух множеств. Так происходит, когда пересечение путают с объединением и ориентируются на слово «встречается». Проверь каждый элемент: для пересечения он обязан быть в каждом множестве. Если элемент есть только в одном наборе, его нужно исключить.

Ошибка: в объединении записывают общий элемент дважды. Обычно так делают, складывая списки подряд и не проверяя повторы. Но в множестве один и тот же элемент указывают только один раз. Для самопроверки перечитай итоговый набор и удали повторные записи.

Ошибка: считают, что «ИЛИ» требует ровно один вариант. Это бытовое прочтение слова может мешать, хотя математическое правило требует истинности хотя бы одной части. Проверь, не выполняются ли оба условия одновременно: если да, высказывание с «ИЛИ» всё равно истинно. Например, число 6 делится и на 2, и на 3.

Ошибка: при отрицании составного высказывания отрицают только одну его часть. Причина — невнимательное чтение: слово «НЕ» может относиться ко всей фразе или к отдельному условию. Сначала определи границы высказывания, которое отрицается, а затем проверь истинность целиком. Отрицание должно менять значение именно выбранной фразы на противоположное.

Связь с другими темами

Для работы с множествами нужно уметь задавать их и проверять, принадлежит ли элемент множеству. Логические связки опираются на умение различать истинные и ложные высказывания и понимать условия со словами «и» и «или». Эти знания применяются при отборе объектов в задачах, а также при записи условий в алгоритмах и программах. Там несколько проверок часто соединяют, чтобы определить, какое действие выполнить.

Что запомнить

• Пересечение содержит только общие элементы.
• Объединение содержит элементы хотя бы одного из множеств, без повторов.
• «И» требует истинности всех частей.
• Математическое «ИЛИ» допускает истинность одной или обеих частей.
• Отрицание истинного высказывания ложно, а ложного — истинно.
• При отборе элементов пересечение соответствует одновременному выполнению условий.