§ 12. Высказывание. Истина и ложь. Отрицание

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Число 8 чётное» — высказывание, а вопрос «Сколько будет 3 + 5?» и команда «Закрой окно» — нет. Это понятие помогает отделять утверждения, пригодные для логических рассуждений, от других предложений.

Истина и ложь — два возможных значения истинности высказывания. Утверждение «15 делится на 3» истинно, а «У треугольника четыре стороны» ложно. Определение значения нужно, чтобы точно оценивать утверждение по его смыслу, а не по тому, кто и с каким настроением его произнёс.

Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Его обозначают символом ¬ или выражают словами «неверно, что…». Например, отрицание высказывания A можно записать как ¬A; это обозначение удобно для короткой записи логических рассуждений.

Значение истинности отрицания противоположно значению исходного высказывания: истинное становится ложным, а ложное — истинным. Если утверждение «Снег белый» истинно, его отрицание ложно. Это правило позволяет проверить, правильно ли определено значение отрицания.

Как это устроено

Чтобы решить, является ли предложение высказыванием, сначала выясняют, что именно оно сообщает. Утверждение описывает положение дел, поэтому его можно сопоставить с действительностью и оценить как истинное или ложное. Вопрос просит сообщить сведения, а команда побуждает что-то сделать, поэтому сами по себе они не имеют такого значения. Например, у фразы «Закрой окно» нет ответа «истина» или «ложь»: это распоряжение, а не утверждение.

Истинность зависит от соответствия утверждения фактам. Форма предложения не гарантирует, что оно истинно: грамматически правильная фраза может сообщать неверные сведения. Поэтому каждое утверждение проверяют по его содержанию: знают ли мы подходящий факт или можем ли рассуждением установить, верно ли оно. Так, «В феврале всегда 30 дней» — ложное высказывание, хотя оно построено как обычное повествовательное предложение.

Фраза должна быть достаточно точной, чтобы у неё было определённое значение истинности. В выражении «x больше 4» результат зависит от неизвестного x: при x = 5 оно истинно, а при x = 3 — ложно. Слова вроде «большой» тоже могут пониматься по-разному, если не указано, с чем сравнивают предмет. Поэтому для однозначного ответа нужно задать значение переменной и необходимые условия или уточнить смысл слов.

Отрицание должно сообщать, что исходное утверждение неверно, а не просто содержать частицу «не». Например, отрицание «Все ученики пришли» — «Не все ученики пришли», то есть найдётся хотя бы один ученик, который не пришёл. Такая формулировка сохраняет предмет утверждения и отрицает именно его содержание. После составления отрицания проверяют, что оно не может быть истинным одновременно с исходным и что одно из двух обязательно истинно.

Высказывания и их отрицания

Сначала найдите в таблице исходное утверждение и установите, истинно оно или ложно. Затем проверьте, отрицает ли следующая формулировка всё утверждение, а не только отдельное слово. Последний столбец всегда должен показывать значение, противоположное исходному.

Разбор задач

Какие предложения являются высказываниями?

Условие: определите, какие предложения являются высказываниями: «Число 8 чётное», «Сколько будет 3 + 5?», «Закрой окно», «x больше 4». Нужно проверить, можно ли каждому предложению однозначно приписать истину или ложь. Не следует путать повествовательную форму с истинностью: важна возможность определить значение.

1. «Число 8 чётное» — утверждение, истинность которого можно проверить. Это высказывание.
2. «Сколько будет 3 + 5?» — вопрос, который запрашивает ответ, а не утверждает что-либо. Это не высказывание.
3. «Закрой окно» — команда, поэтому оценить её как истинную или ложную нельзя. Это не высказывание.
4. «x больше 4» зависит от значения x. Без дополнительных условий это не высказывание.

Ответ: высказывание — «Число 8 чётное»; остальные предложения не являются высказываниями в данных условиях.

Истинные и ложные высказывания

Условие: установите, истинны или ложны фразы «У треугольника четыре стороны», «15 делится на 3», «В феврале всегда 30 дней». Все три предложения что-то утверждают, значит, сначала их рассматривают как высказывания. Затем содержание каждого сопоставляют с известными математическими и календарными фактами.

1. У треугольника три стороны, поэтому утверждение о четырёх сторонах не соответствует действительности. Оно ложно.
2. 15 делится на 3 без остатка, значит, второе утверждение истинно.
3. В феврале не всегда 30 дней, поэтому третье утверждение ложно.

Ответ: первое высказывание ложно, второе истинно, третье ложно. Их значения определены по смыслу утверждений, а не по тому, как предложения построены.

Как сформулировать отрицание?

Условие: составьте отрицания высказываний «Все ученики пришли на урок» и «Число 11 — чётное», затем определите их значения истинности. Для каждого утверждения сначала нужно точно выразить, что оно неверно. Затем установить значение исходного высказывания и поменять его на противоположное.

1. Отрицание «Все ученики пришли на урок» — «Не все ученики пришли на урок», то есть хотя бы один не пришёл. Исходное высказывание может быть истинным или ложным в зависимости от ситуации, поэтому отрицание имеет противоположное значение.
2. Число 11 нечётное, значит, утверждение «Число 11 — чётное» ложно. Его отрицание — «Число 11 — нечётное», и оно истинно.

Ответ: отрицания сформулированы как «Не все ученики пришли на урок» и «Число 11 — нечётное». Второе отрицание истинно; значение первого противоположно значению исходного утверждения о присутствии учеников.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вопрос или команду высказыванием. Так происходит, потому что любое законченное предложение легко принять за утверждение, но вопрос и побуждение не сообщают, что нечто истинно или ложно. Проверка простая: попробуйте ответить про саму фразу «истинна она или ложна?». Если она лишь спрашивает или приказывает, это не высказывание.

Вторая ошибка — считать ложное предложение не высказыванием. Причина в том, что слово «высказывание» иногда ошибочно связывают только с правдивым сообщением. Однако ложность — одно из двух возможных значений истинности. Для самопроверки спросите, можно ли установить, что утверждение неверно: если да, это всё равно высказывание.

Третья ошибка — приписывать определённое значение фразе с неизвестной переменной, например «x больше 4». Ответ зависит от x, поэтому без заданного значения нельзя решить, истинна фраза или ложна. Проверьте себя, подставив разные числа: если результат меняется, нужны дополнительные условия, чтобы получить определённое высказывание.

Четвёртая ошибка — строить отрицание простым добавлением «не» или менять одно слово. Так можно случайно изменить смысл фразы, но не отрицать всё исходное утверждение. Сформулируйте отрицание целиком и проверьте его правилом противоположности: при истинном исходном оно должно быть ложным, а при ложном — истинным.

Связь с другими темами

Для этой темы полезно различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Такое умение помогает сначала определить, есть ли перед нами утверждение, и только потом выяснять его истинность. Также нужно понимать смысл фразы целиком: это особенно важно, когда в ней есть переменные или слова, допускающие разные толкования.

Высказывания и их значения становятся основой для изучения логических операций и составных высказываний. Отрицание — одна из операций, с помощью которых строят более сложные утверждения. В алгоритмах похожие утверждения используют в условиях: от их истинности или ложности зависит, какое действие будет выполнено.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, которому можно однозначно приписать истину или ложь.
• Вопросы и команды сами по себе не являются высказываниями.
• Ложное утверждение всё равно является высказыванием.
• Без заданного значения переменной фраза с ней может не иметь определённой истинности.
• Отрицание высказывания утверждает, что исходное высказывание неверно.
• Отрицание истинного высказывания ложно, а отрицание ложного истинно.