"Информатика", Горячев А.В., Суворова Н.И.
Высказывание — это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Чтобы соединить несколько таких предложений и рассуждать о них, используют логические слова «И» и «ИЛИ». Слово «И» делает составное высказывание истинным только тогда, когда истинны обе его части. Высказывание со словом «ИЛИ» истинно, если истинна хотя бы одна часть, в том числе обе сразу. Эти правила помогают точно разбирать условия задач и не путать обычный смысл слов с логическим.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — повествовательное предложение, про которое можно определить, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» — высказывание, а «Открой окно!» — нет, потому что команда не сообщает факт, который можно проверить. Понятие нужно, чтобы отделять предложения, пригодные для логических рассуждений, от вопросов, приказов и неопределённых фраз.
Истинность — значение высказывания: истина или ложь. Высказывание «У квадрата четыре стороны» истинно, а «У треугольника пять сторон» ложно. Это различие позволяет не спорить о звучании фразы, а проверять сообщаемый ею факт.
Составное высказывание получается, когда простые высказывания соединяют логическими словами. В записи буквы A и B обозначают отдельные высказывания, например A — «число чётное», B — «число больше пяти». Такая запись помогает исследовать правило, не зависящее от конкретных слов.
Логические слова «И» и «ИЛИ» задают способ соединения частей. A И B требует истинности обеих частей, а A ИЛИ B — истинности хотя бы одной. Эти правила нужны, чтобы однозначно оценивать сложные условия и не полагаться только на бытовое значение союза.
У составного высказывания значение зависит от значений его частей и от слова, которым они соединены. Поэтому сначала нужно выяснить, что именно утверждает каждая часть отдельно. Затем к полученным значениям применяют правило «И» или «ИЛИ». Такой порядок позволяет не делать вывод по общему впечатлению от длинного предложения.
Слово «И» соединяет требования, которые должны выполняться одновременно. Если A И B истинно, это значит, что выполнено условие A и выполнено условие B. Стоит хотя бы одной части оказаться ложной — всё соединённое высказывание становится ложным, потому что требование «оба» уже нарушено. Например, фраза «число больше 2 и меньше 6» не подходит числу 8: первая часть верна, но вторая неверна.
Слово «ИЛИ» в логике означает, что достаточно хотя бы одного истинного условия. Поэтому A ИЛИ B ложно лишь тогда, когда обе части ложны. Если истинна только A, только B или сразу обе части, всё высказывание истинно. Такое значение называют включающим: варианты не исключают друг друга, если это отдельно не сказано.
Таблица истинности удобна тем, что в ней перечислены все возможные сочетания значений частей. Для двух высказываний есть четыре сочетания: оба истинны, истинно только первое, истинно только второе, оба ложны. В строках таблицы для «И» истина появляется лишь в первом случае, а для «ИЛИ» — во всех, кроме последнего. Значит, таблица служит не просто памяткой, а способом проверить правило без пропусков.
В обычной речи «или» иногда подразумевает выбор только одного варианта, например «чай или кофе». В логике такого ограничения само слово не добавляет: если подходят оба варианта, A ИЛИ B всё равно истинно. Чтобы выразить требование «одно, но не оба», нужно уточнить условие отдельно. Это различие особенно важно при переводе задач с обычного языка на язык логики.
| A | B | A И B | A ИЛИ B |
|---|---|---|---|
| Истина | Истина | Истина | Истина |
| Истина | Ложь | Ложь | Истина |
| Ложь | Истина | Ложь | Истина |
| Ложь | Ложь | Ложь | Ложь |
Чтобы пользоваться таблицей, найди строку с истинностью частей A и B. Затем прочитай значение в столбце нужного выражения — «И» или «ИЛИ». Таблица охватывает все варианты, поэтому по ней удобно сверять решение.
Задача. Даны высказывания A: «Число 8 чётное» и B: «Число 8 больше 10». Определи истинность выражений A И B и A ИЛИ B. Здесь важно не оценивать оба выражения сразу по одному слову: сначала проверим каждую часть, а затем применим правила связок. Чётность числа определяется делимостью на 2, а сравнение с 10 — обычным сравнением чисел.
Проверим A. Число 8 делится на 2 без остатка, поэтому высказывание «Число 8 чётное» истинно. Запишем значение A: истина.
Проверим B. Число 8 меньше 10, а не больше него, поэтому высказывание B ложно. Получили сочетание: A истинно, B ложно.
Рассмотрим A И B. Для истинности выражения с «И» обе части должны быть истинными. B ложно, значит, всё выражение A И B ложно.
Рассмотрим A ИЛИ B. Для истинности выражения с «ИЛИ» достаточно хотя бы одной истинной части. A истинно, поэтому A ИЛИ B истинно, хотя B ложно.
Ответ: A И B — ложь; A ИЛИ B — истина. Проверка показывает, почему нельзя переносить значение одной части на оба выражения: одна и та же пара значений даёт разные результаты в зависимости от логического слова. Если бы обе части оказались ложными, оба выражения были бы ложными. Если бы обе части оказались истинными, оба выражения были бы истинными.
Считать «ИЛИ» выбором только одного варианта. Так ошибаются, потому что в разговоре «или» иногда действительно звучит как требование выбрать что-то одно. В логике A ИЛИ B истинно и тогда, когда истинны обе части. Проверь себя по таблице: строка «истина, истина» в столбце «ИЛИ» даёт истину.
Считать A И B истинным, если истинна хотя бы одна часть. Здесь правило для «И» подменяют правилом для «ИЛИ», потому что оба слова соединяют предложения. Но «И» требует выполнения каждого условия, поэтому одна ложная часть делает всё выражение ложным. Для проверки спроси себя: действительно ли выполнены обе части?
Не проверять части отдельно. Ученик может оценить длинное предложение целиком и пропустить, что одно из условий не выполнено. Тогда легко получить неверное значение составного высказывания. Раздели фразу на A и B, оцени каждую, а результат сверь с нужной строкой таблицы.
Логические высказывания встречаются в задачах на проверку условий: например, программа может выполнить действие, если число больше нуля и одновременно чётное. Связки «И» и «ИЛИ» помогают точно записывать такие правила и определять, когда условие выполнено. Они также подготавливают к изучению более сложных логических выражений, где соединяют несколько частей. При работе с алгоритмами особенно полезно помнить: «И» требует выполнения всех условий, а «ИЛИ» — хотя бы одного.
§ 13. Высказывание. Слова «И» и «ИЛИ»
