§ 18. Аналогичная закономерность

Определения и обозначения

Закономерность — это правило, по которому элементы ряда изменяются или повторяются. Например, числа могут каждый раз увеличиваться на одно и то же значение, а фигуры — чередоваться по цвету. Понятие помогает не просто перечислять объекты, а объяснять, почему они расположены именно так. Найдя правило, можно проверить ряд и предсказать его продолжение.

Аналогия — установление сходства между объектами или ситуациями по существенным признакам. Существенными называют признаки, важные для решения задачи: например, направление поворота, а не случайный размер рисунка. Аналогия нужна, чтобы использовать уже известное решение в похожей ситуации. При этом сравнивают не всё подряд, а признаки, связанные с правилом.

Аналогичная закономерность — правило, найденное в одном ряду и применённое к похожему ряду. Например, если в первом ряду каждая фигура поворачивается на четверть оборота, такое же изменение можно искать во втором ряду. Это понятие помогает решать задачи с пропущенным элементом. Чтобы перенос был верным, сначала нужно понять, какие элементы и признаки соответствуют друг другу.

Элемент ряда — отдельный объект или шаг изменения, который сравнивают с другими элементами. В числовом ряду элементом является число, а в ряду рисунков — отдельная фигура. Сравнение элементов показывает, что именно меняется при переходе от одного к следующему. Без выделения элементов трудно сформулировать общее правило.

Как это устроено

Закономерность можно искать в числовых и буквенных рядах, наборах символов, рисунках и последовательностях действий. Во всех этих случаях есть элементы, расположенные в определённом порядке. Порядок важен: перестановка объектов может изменить правило. Поэтому сначала определяют, что именно образует ряд и в каком направлении его нужно читать.

Чтобы найти правило, сравнивают соседние элементы и отмечают различия между ними. Соседние элементы удобны для сравнения, потому что между ними виден один шаг изменения, который можно затем сопоставить с другими шагами. Нужно также замечать, что остаётся прежним: постоянные признаки помогают сузить поиск. Если сразу смотреть на весь ряд, отдельное изменение легко пропустить или принять за случайность.

Сложный объект полезно разделить на признаки: форму, цвет, размер и положение. Затем каждый признак проверяют отдельно, потому что несколько изменений могут происходить одновременно и мешать друг другу. Например, фигура может сохранять форму, менять цвет и поворачиваться. Раздельная проверка позволяет сформулировать правило точнее и не потерять часть происходящего.

Чтобы перенести найденное правило, сначала устанавливают соответствие между элементами двух рядов. Затем сравнивают соответствующие признаки и применяют к новому ряду тот же способ изменения. Это необходимо, потому что похожие ряды могут содержать разные объекты, но одинаковую связь между ними. Если сопоставить элементы неверно, правило будет применено не к тому шагу.

Предполагаемое правило проверяют на всех элементах ряда, а не только на первых двух. Нужно убедиться, что каждый переход объясняется одним и тем же способом или ясным повторяющимся порядком. Одного совпадения недостаточно: оно может быть случайным и не подходить к остальным элементам. Проверка помогает обнаружить ошибку до того, как правило будет перенесено на аналогичный ряд.

Как искать и применять закономерность

Таблица подсказывает, что именно сравнивать в разных типах рядов и как сформулировать результат. Начните со строки, которая соответствует вашей задаче, а затем выберите признак и проверьте его по всем элементам. В последнем столбце описан следующий шаг — перенос правила на похожий ряд.

Разбор задач

В ряду 2, 4, 6, 8 определите правило и назовите следующий элемент. Нужно не угадывать продолжение, а выяснить, что происходит при переходе от каждого числа к следующему. Для этого сравним соседние элементы и проверим найденное изменение на всём ряду.

1. Сравним первые два числа: 4 − 2 = 2.
2. Проверим следующий переход: 6 − 4 = 2, а затем 8 − 6 = 2.
3. Сформулируем правило: каждое следующее число на 2 больше предыдущего.
4. Применим правило к последнему числу: 8 + 2 = 10.

Ответ: правило — прибавлять 2; следующий элемент — 10. Проверка всех переходов показывает, что правило подходит ко всему ряду, а не только к его началу. Поэтому продолжение согласуется с последовательностью.

В последовательности фигур каждая следующая фигура отличается от предыдущей цветом и поворотом. Определите недостающую фигуру. В условии одновременно меняются два признака, поэтому их нужно рассмотреть отдельно, иначе одно изменение можно ошибочно принять за полное правило.

1. Составим для каждой фигуры два описания: её цвет и направление поворота.
2. Сравним цвета соседних фигур и отдельно проследим повороты.
3. Проверим, повторяется ли изменение цвета и одинаково ли меняется направление на каждом шаге.
4. Для пропуска выберем цвет и поворот, которые получаются по этим двум правилам.

Ответ: недостающая фигура должна иметь цвет, следующий по установленному чередованию, и поворот, соответствующий следующему шагу. Точные признаки определяются по данным самой последовательности. Перед выбором проверьте, что оба правила согласуются со всеми соседними фигурами.

Дан ряд фигур с известным правилом изменения и второй, похожий ряд с пропущенным элементом. Нужно найти пропуск во втором ряду. Здесь не требуется заново угадывать правило: сначала важно понять, какие фигуры и признаки в рядах соответствуют друг другу.

1. Определим правило первого ряда: например, выделим изменение цвета, формы или положения.
2. Сопоставим элементы рядов по их местам и общим признакам.
3. Установим, каким признаком в первом ряду соответствует признак во втором.
4. Применим тот же способ изменения к фигуре перед пропуском во втором ряду и проверим результат по соседним элементам.

Ответ: пропущенной будет фигура, полученная по правилу первого ряда с сохранением соответствия признаков. Например, если соответствующие фигуры меняют положение одинаково, нужно продолжить этот поворот во втором ряду. Такая проверка помогает не переносить правило на неподходящие элементы.

Типичные ошибки

Первая ошибка — замечать только один признак объекта, например цвет, и не учитывать поворот или размер. Так поступают, когда самый заметный признак сразу привлекает внимание. В итоге правило объясняет ряд лишь частично. Проверьте форму, цвет, размер и положение по отдельности, а затем сверьте вывод со всеми фигурами.

Вторая ошибка — принимать случайное совпадение за закономерность. Если первые два элемента отличаются на 2, это ещё не доказывает, что так устроен весь ряд. Предположение кажется убедительным, когда проверяют только его начало. Сравните все переходы и убедитесь, что правило объясняет каждый из них.

Третья ошибка — переносить правило на похожий ряд без сопоставления элементов и признаков. Внешнее сходство может скрывать другое соответствие: например, цвет одной фигуры связан с размером другой. Сначала обозначьте, какие элементы и признаки отвечают друг другу, и только потом применяйте правило. Проверка на соседних элементах второго ряда покажет, верно ли выполнен перенос.

Четвёртая ошибка — считать, что у ряда обязательно есть только одно возможное объяснение. Иногда разные правила подходят к небольшому числу данных, поэтому любое из них может выглядеть правдоподобно. Это допускают, когда не отделяют предположение от доказанного вывода. Выбирайте правило, которое согласуется со всеми элементами, и помните: по имеющимся данным могут оставаться несколько таких объяснений.

Связь с другими темами

Для поиска закономерностей полезно уметь сравнивать объекты и выделять общие и отличающиеся признаки. Это умение помогает описывать ряд точно, а не опираться на первое впечатление. Поиск правила связан и с алгоритмами: повторяющиеся шаги можно записать как порядок действий и проверить. Если последовательность действий нарушена, сравнение с правилом помогает найти ошибку.

Перенос закономерности по аналогии применяется в логических задачах и при работе с моделями. Модель упрощает объект или ситуацию, оставляя признаки, важные для задачи. Сопоставляя модель с другим случаем, можно использовать знакомое правило, если соответствие между признаками установлено правильно. Поэтому навык нужен не только для продолжения рядов.

Что запомнить

• Закономерность — правило изменения или повторения элементов.
• Сравнивайте элементы по одному признаку за раз.
• Отделяйте постоянные признаки от изменяющихся.
• Проверяйте предполагаемое правило на всём ряду.
• Для аналогии сначала установите соответствие между элементами.
• Переносите правило только после проверки сходства рядов.