"Информатика", Горячев А.В., Суворова Н.И.
Закономерность — общее правило, которое связывает элементы последовательности и помогает понять, как они меняются или повторяются. Благодаря этому правилу можно не угадывать следующий объект, а вывести его из уже известных элементов. Чтобы найти закономерность, сравнивают числа или фигуры, замечают повторения и изменения, а затем проверяют предположение на всём ряду. При этом короткая последовательность иногда допускает несколько объяснений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закономерность — правило, по которому элементы последовательности связаны между собой. Например, числа могут каждый раз увеличиваться на одно и то же значение, а фигуры — чередоваться в заданном порядке. Понятие закономерности нужно, чтобы объяснять устройство ряда, а не просто перечислять его элементы.
Последовательность — упорядоченный набор объектов, расположенных по порядку. Объектами могут быть числа, буквы, фигуры или другие знаки, а их положение имеет значение. Это понятие помогает отличить ряд с заданным порядком от набора, где объекты просто собраны вместе.
Элемент последовательности — отдельный объект, занимающий определённое место в наборе. Например, в ряду 3, 6, 9 число 6 — второй элемент. Указание места позволяет точно сравнивать элементы и говорить, какой из них следует получить следующим.
Правило закономерности — описание того, как получить следующий элемент или определить связь между элементами. Его можно выразить словами, числами или условными обозначениями, если смысл остаётся понятным. Такое описание нужно, чтобы другой человек мог проверить рассуждение и продолжить ряд тем же способом.
Закономерно организованная последовательность отличается от случайного набора общим правилом связи элементов. В случайном наборе порядок объектов может быть произвольным, поэтому по предыдущим объектам нельзя надёжно вывести следующий. Чтобы отличить одно от другого, нужно найти связь, которая объясняет не отдельную пару, а весь ряд. Если такой связи нет, возможно, данных недостаточно или порядок задан случайно.
Поиск правила начинают со сравнения элементов: проверяют, что остаётся одинаковым и что меняется. В числовом ряду полезно рассмотреть разности соседних чисел, а в ряду фигур — их форму, цвет, размер и порядок. Повторения могут проявляться не только между соседями, но и через несколько позиций. Поэтому стоит проверить несколько способов сравнения, прежде чем делать вывод.
Предполагаемое правило нужно сформулировать так, чтобы по нему можно было получить следующий элемент. Это можно сделать словами, например: «каждый раз прибавляется 3», или через числовые изменения. Для фигур подходит описание вроде «повторяются круг, квадрат и треугольник». Чем точнее формулировка, тем меньше вероятность, что разные люди продолжат ряд по-разному.
Чтобы продолжить числовую последовательность, применяют найденное действие к последнему элементу или используют выявленный порядок чисел. Для графической последовательности определяют, какой признак меняется, или находят повторяющуюся группу фигур. Затем правило применяют ещё раз, не меняя его на последнем шаге. Такой порядок действий помогает получить элемент, который действительно следует из ряда.
Одного совпадения недостаточно, потому что разные правила могут объяснить одну и ту же пару элементов. Например, два числа могут отличаться на 2, но это ещё не доказывает, что такая разность сохранится дальше. Проверка на нескольких шагах показывает, объясняет ли правило весь набор. Если оно не подходит к одному из элементов, его нужно уточнить или отказаться от него.
Таблица подсказывает, на какие признаки смотреть при поиске правила. Сначала определи вид последовательности, затем проверь подходящие признаки и сформулируй правило. После этого примени его к последнему элементу или повторяющемуся фрагменту.
| Вид последовательности | Что сравнивать | Как сформулировать правило | Как получить следующий элемент |
|---|---|---|---|
| Числовая | Соседние числа, разности или изменения разностей | Например: «каждый раз прибавляется 2» | Выполнить то же действие с последним числом |
| Фигурная или графическая | Форму, цвет, размер, расположение и порядок фигур | Назвать изменяющийся признак или порядок фигур | Продолжить выявленное изменение или чередование |
| Последовательность с повторяющимся фрагментом | Группы элементов и их порядок при повторении | Указать состав и порядок повторяющейся группы | Продолжить группу с того места, где она прервалась |
Задача 1. Продолжить последовательность 2, 4, 6, 8, … и записать правило. Нужно выяснить, одинаково ли меняются соседние числа. Сравним пары подряд идущих элементов, а затем применим найденное изменение к последнему числу.
Ответ: правило — каждый следующий элемент на 2 больше предыдущего; следующее число — 10. Проверка нескольких переходов показывает, что правило подходит ко всему данному ряду. Поэтому продолжение не основано только на последней паре чисел.
Задача 2. В ряду чередуются круг, квадрат, треугольник, круг, квадрат, … Нужно определить следующие две фигуры. Соседние фигуры различаются, поэтому проверим, не повторяется ли более длинная группа. Для этого сравним начало ряда с его продолжением.
Ответ: треугольник, круг. Здесь важно учитывать не только различие между соседними фигурами, но и порядок целой повторяющейся группы. Если начать группу заново после квадрата, можно ошибиться в следующем элементе.
Задача 3. Дана последовательность 1, 2, 4, 7, 11, … Найти следующие два числа и объяснить правило. Сами числа не увеличиваются на одинаковую величину, поэтому сравним изменения между соседними элементами. Затем проверим, как меняются уже найденные изменения.
Ответ: 16, 22; правило — каждый раз прибавляется число, на 1 большее предыдущей прибавки. Оно объясняет все переходы в исходном ряду. Проверка разностей помогает увидеть закономерность, которую не заметно при сравнении только самих чисел.
Продолжать ряд по первому замеченному совпадению — значит принять предварительную догадку за доказанное правило. Так поступают, потому что первая пара часто подсказывает простое объяснение, но оно может не подойти к остальным элементам. Проверь выбранное действие на каждом переходе и измени правило, если оно не объясняет весь ряд.
Сравнивать только соседние элементы и не замечать повторение через несколько позиций — значит пропустить более длинный цикл. Это случается, когда внимание сосредоточено на ближайшем переходе, а не на порядке всей группы. Сравни элементы на одинаковых местах в нескольких предполагаемых группах и проверь, повторяется ли фрагмент.
Путать правило последовательности с описанием одного элемента — значит назвать, например, цвет одной фигуры, не объяснив порядок фигур. Такая ошибка возникает, если описание отвечает только на вопрос «что дано», но не «как получить следующее». Спроси себя, позволяет ли формулировка продолжить весь ряд, и уточни её, если нет.
Считать, что у любого короткого ряда только одно продолжение, — значит не учитывать недостаток данных. Несколько правил могут одинаково подходить к начальным элементам, поэтому разные продолжения не всегда означают ошибку. Проверь, задано ли правило отдельно; если нет, укажи, на каком предположении основан твой ответ.
Для поиска закономерностей нужны умения сравнивать объекты, упорядочивать их и находить сходства и различия. Эти действия помогают выделить признаки, которые меняются, и заметить, что остаётся постоянным. Без них трудно отличить правило от случайного совпадения.
Найденные закономерности пригодятся при составлении алгоритмов: шаги алгоритма тоже задают порядок действий и должны выполняться по понятному правилу. Умение замечать изменения полезно при работе с числовыми данными и при прогнозировании следующих элементов. Чем точнее описано правило, тем легче проверить результат и повторить решение.
Что называют закономерностью?
Закономерность — это правило, по которому связаны элементы последовательности. Оно объясняет, как элементы повторяются или изменяются, и помогает определить, что будет дальше.
Как найти правило последовательности?
Сравни элементы: найди повторения, изменения или постоянное действие между ними. Затем сформулируй предполагаемое правило и проверь, объясняет ли оно весь известный ряд.
Как понять, что найденное правило подходит ко всему ряду?
Примени его не только к последней паре элементов, но и к остальным частям последовательности. Если оно объясняет все переходы и позволяет одинаково продолжить ряд, оно подходит к данным.
Может ли у одной последовательности быть несколько продолжений?
Да, если дано мало элементов, один и тот же ряд может соответствовать разным правилам. Чтобы выбрать продолжение, нужны дополнительные данные или условие, уточняющее правило.
Как продолжить последовательность, если повторяется группа элементов?
Сначала выдели повторяющийся фрагмент и определи, где он начинается и заканчивается. Затем повтори его в том же порядке, начиная со следующего после последнего элемента.
§ 17. Закономерность
