§ 14. Множество. Элементы множества

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, субботу и воскресенье можно объединить в множество выходных дней недели. Такое объединение помогает не перечислять объекты по одному в каждом рассуждении, а говорить о них вместе.

Элемент множества — объект, принадлежащий данному множеству. Если объект a входит в множество A, записывают a ∈ A и читают «a принадлежит A»; если не входит — a ∉ A, «a не принадлежит A». Эти обозначения позволяют коротко и однозначно сообщить результат проверки.

Задание множества перечислением — способ указать множество, записав все его элементы в фигурных скобках. Например, множество выходных дней можно записать так: {суббота, воскресенье}. Такой способ нужен, когда элементов немного и каждый из них можно назвать.

Задание множества описанием — способ указать общее свойство, которому должны удовлетворять все его элементы. Например, можно сказать: «множество выходных дней недели». Описание помогает задать множество без полного списка, когда элементы объединены понятным правилом.

Как это устроено

Чтобы выделить множество в знакомой ситуации, сначала решают, какие объекты будут рассматривать, а затем находят признак, по которому их объединяют. Например, если речь идёт о днях недели, можно отобрать те, в которые обычно не учатся. Тогда получим множество выходных дней. Без указания признака нельзя понять, почему одни дни включены, а другие нет.

Элементами множества могут быть числа, слова, предметы и другие объекты. Например, в одном рассуждении объединяют числа, а в другом — названия городов. Поэтому нужно точно обозначить, какие объекты рассматриваются и какое условие они должны выполнять. Иначе одинаковое слово или число можно ошибочно отнести к неподходящему множеству.

При перечислении множество записывают в фигурных скобках, а элементы разделяют запятыми: {1, 2, 3}. Скобки показывают границы множества, а запятые помогают различать его элементы. Если при записи один элемент случайно встретился дважды, второй раз его не учитывают: множество {1, 2, 2, 3} содержит те же элементы, что и {1, 2, 3}. Повтор не становится новым объектом.

Чтобы проверить, принадлежит ли объект множеству, нужно сопоставить его с условием, по которому это множество задано. Например, понедельник не входит в множество выходных дней, поэтому понедельник ∉ {суббота, воскресенье}. Проверка должна опираться именно на условие, а не на внешнее сходство объектов. Так можно избежать случайного включения неподходящего элемента.

Перечисление удобно для небольшого множества: список короткий и его легко проверить. Если элементов много или они определяются общим правилом, удобнее описание — например, «натуральные числа, меньшие 100». Это избавляет от длинного списка и сразу показывает, как определить нужные элементы. Оба способа задают множество, но подходят для разных случаев.

Способы задания множества

Сначала определите, что именно требуется задать: небольшой готовый список или объекты, подходящие под правило. Затем выберите подходящую строку таблицы и проверьте, что пример действительно соответствует условию. При любом способе важно, чтобы правило отбора было понятным.

Разбор задач

Задача 1. Даны названия нескольких дней недели. Запишите множество выходных дней и укажите, принадлежит ли ему понедельник. Нужно отобрать только те дни, которые подходят под условие «выходные». Затем отдельно проверим понедельник.

1. По условию к выходным относятся суббота и воскресенье.
2. Записываем их в фигурных скобках: {суббота, воскресенье}.
3. Понедельник не является выходным днём, значит, он не входит в это множество.

Ответ: {суббота, воскресенье}; понедельник ∉ {суббота, воскресенье}.

Задача 2. Запишите множество натуральных чисел меньше 6 перечислением, а затем укажите, принадлежит ли ему число 4. Здесь натуральными считаем числа 1, 2, 3 и далее. Чтобы не пропустить подходящие числа, выпишем их по порядку до 6, не включая 6.

1. Начинаем с 1 и выбираем натуральные числа, которые меньше 6: 1, 2, 3, 4, 5.
2. Записываем множество перечислением: {1, 2, 3, 4, 5}.
3. Число 4 есть среди элементов, поэтому оно принадлежит множеству.

Ответ: {1, 2, 3, 4, 5}; 4 ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

Задача 3. Задайте множество чётных натуральных чисел меньше 12 двумя способами и проверьте числа 8 и 9. Сначала отберём числа по двум условиям: они натуральные, чётные и меньше 12. Затем запишем их списком и сформулируем то же условие словами.

1. Чётные натуральные числа меньше 12: 2, 4, 6, 8, 10. Получаем {2, 4, 6, 8, 10}.
2. Описываем это множество: чётные натуральные числа, меньшие 12.
3. Число 8 чётное и меньше 12, поэтому 8 ∈ {2, 4, 6, 8, 10}. Число 9 нечётное, поэтому условию не подходит и 9 ∉ {2, 4, 6, 8, 10}.

Ответ: {2, 4, 6, 8, 10}; множество чётных натуральных чисел меньше 12; 8 принадлежит множеству, 9 не принадлежит.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что похожий на остальные объект обязательно входит в множество. Но принадлежность определяется не внешним сходством, а условием: например, в множество выходных дней понедельник не попадёт. Ошибку предотвращает вопрос: «Выполняет ли этот объект заданное правило?»

Можно перепутать обозначения ∈ и ∉ и написать, что объект принадлежит множеству, не проверив условие. Такое случается, если смотреть только на запись и не разобрать её смысл. Перед ответом произнесите его словами: «входит» или «не входит», а затем выберите соответствующий символ.

Некоторые записывают элементы без фигурных скобок или помещают внутрь скобок пояснение вместо самих элементов. Тогда границы множества становятся неясными. Проверьте, что перечисление оформлено в скобках, элементы разделены запятыми, а пояснение дано отдельно или используется как описание.

Повторение элемента иногда принимают за добавление нового элемента: например, пишут 2 дважды, чтобы показать, что оно встретилось два раза. Однако множество не считает повторные появления одного объекта новыми элементами. Перечитайте список и удалите дубликаты: {1, 2, 2} можно записать как {1, 2}.

Связь с другими темами

Перед изучением множеств полезно уметь находить объекты, которые удовлетворяют заданному условию. Также пригодится знакомство с фигурными скобками: в этой теме они показывают, где начинается и заканчивается запись перечисления. Эти умения помогают аккуратно задавать множество и проверять его элементы.

Понятие множества встречается при изучении числовых множеств, логических условий, алгоритмов и обработки данных. Например, алгоритм может отбирать числа по правилу, а программа — собирать записи с нужным свойством. Во всех этих случаях важно понимать, какие объекты входят в рассматриваемую совокупность.

Что запомнить

• Множество объединяет объекты, рассматриваемые по заданному признаку.
• Объекты, входящие в множество, называются его элементами.
• Множество можно задавать перечислением элементов или описанием общего свойства.
• Принадлежность объекта проверяют по условию, задающему множество.
• Элементы множества записывают в фигурных скобках.
• Повторная запись элемента не создаёт нового элемента множества.