"Информатика", Горячев А.В., Волкова Т.О.
Множество — это набор объектов, которые рассматривают как одно целое: например, множество дней недели или чисел, меньших пяти. Чтобы другим было понятно, какие объекты входят в набор, множество нужно задать. Для небольшого набора удобно перечислить его элементы, а для большого — описать общее свойство или правило их получения. Выбор способа зависит от того, насколько легко записать все элементы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — это совокупность объектов, которые рассматривают как одно целое. Например, дни недели можно объединить в множество дней недели, а числа 1, 2 и 3 — в множество этих чисел. Понятие множества помогает говорить сразу о группе предметов или чисел, не перечисляя их каждый раз в обычной речи.
Элемент множества — объект, который входит в это множество. Если число 2 входит в множество A, записывают 2 ∈ A; знак ∈ читают «принадлежит». Если объект не входит в множество, используют знак ∉: например, 5 ∉ A. Эти обозначения нужны, чтобы коротко и точно сообщать, входит ли объект в рассматриваемую группу.
Задать множество — значит описать его так, чтобы можно было определить, какие объекты являются его элементами. Конечное множество часто записывают внутри фигурных скобок: A = {1, 2, 3}. Скобки показывают, где начинается и заканчивается запись множества, а элементы внутри разделяют запятыми. Такая запись удобна, когда элементов немного и их можно выписать все.
Первый способ задания множества — перечислить его элементы. Например, множество первых четырёх натуральных чисел можно записать так: A = {1, 2, 3, 4}. Этот способ хорош, потому что сразу виден состав множества и легко проверить, есть ли в нём нужный объект. Но если элементов очень много или их бесконечно много, перечислить их все невозможно, поэтому требуется другой способ.
При перечислении порядок элементов не задаёт их важность и не меняет само множество. Поэтому записи {1, 2, 3} и {3, 1, 2} задают одно и то же множество: в обоих случаях в него входят числа 1, 2 и 3. Повторять элемент тоже не нужно, потому что повторная запись не добавляет в набор нового объекта. Например, {1, 1, 2} и {1, 2} обозначают одно множество.
Второй способ — назвать общее свойство, которому должны удовлетворять все элементы множества, и которое позволяет понять, какие объекты в него входят. Например, можно задать B как множество натуральных чисел, меньших 5. Тогда B = {1, 2, 3, 4}. Такое описание полезно, когда элементы связаны понятным условием, а не просто собраны в случайный список.
В описании через свойство важно уточнить, среди каких объектов его проверяют. Условие «числа, меньшие 5» может означать натуральные, целые или действительные числа, а это разные множества. Если речь идёт о натуральных числах, то в примере получаются 1, 2, 3 и 4; если о целых — ещё и отрицательные числа. Уточнение области выбора не даёт двум читателям получить разные ответы.
Третий удобный приём — описать правило, по которому получают элементы. Например, множество чётных чисел от 2 до 8 можно задать как числа, получаемые умножением 1, 2, 3 или 4 на 2; это даёт {2, 4, 6, 8}. Правило показывает связь между элементами и помогает продолжить ряд, если это требуется. Однако для однозначности нужно указать границы или условие остановки: иначе непонятно, сколько элементов должно быть в множестве.
| Способ | Как записывают | Когда удобно | Пример |
|---|---|---|---|
| Перечисление | Записывают каждый элемент в фигурных скобках | Элементов немного, их можно выписать все | A = {1, 2, 3, 4} |
| Общее свойство | Описывают условие, которому удовлетворяют элементы | Элементов много или их объединяет ясное условие | B — натуральные числа, меньшие 5 |
| Правило получения | Указывают, как получить элементы и где остановиться | Элементы образуют последовательность или получаются одинаковым действием | C — числа 2 · 1, 2 · 2, 2 · 3, 2 · 4 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала оцените, можно ли выписать все элементы без пропусков. Если можно, выбирайте перечисление; если набор большой, сформулируйте свойство или правило. После записи проверьте, что способ включает все нужные элементы и не добавляет лишних.
Задача. Задайте множество натуральных чисел, которые больше 2 и меньше 7, двумя способами: перечислением и описанием общего свойства. Затем определите, принадлежит ли этому множеству число 5, а число 7. Здесь важно аккуратно учесть оба ограничения: числа должны быть строго больше 2 и строго меньше 7. Равенство границе условию не подходит.
Сначала выпишем натуральные числа по порядку и оставим те, которые больше 2: это 3, 4, 5, 6, 7 и далее. Так мы применяем первое ограничение, но пока не учитываем второе.
Теперь уберём числа, которые не меньше 7. Остаются 3, 4, 5 и 6; число 7 исключается, потому что оно равно верхней границе, а в условии требуется быть меньше 7.
Запишем результат перечислением: A = {3, 4, 5, 6}. Фигурные скобки обозначают множество, а запись через запятую позволяет увидеть каждый его элемент.
Зададим то же множество словами: A — множество натуральных чисел, больших 2 и меньших 7. Это описание задаёт не новое множество, а сообщает правило, по которому можно решить, какие числа в него входят.
Проверим принадлежность. Число 5 натуральное, больше 2 и меньше 7, поэтому 5 ∈ A. Число 7 не меньше 7, значит, условие не выполняется и 7 ∉ A.
Ответ: A = {3, 4, 5, 6}; словами — натуральные числа, большие 2 и меньшие 7. Число 5 принадлежит множеству, а число 7 не принадлежит. Проверка выполнена по исходному условию, а не только по внешнему виду списка.
Забывают элемент при перечислении. Это происходит, когда записывают числа наугад или не проверяют границы условия. Чтобы проверить себя, пройдите по всем подходящим объектам по порядку и убедитесь, что каждому соответствует элемент в записи.
Добавляют границу, которая не подходит. Например, из условия «меньше 7» ошибочно включают число 7, потому что оно стоит рядом с остальными. Сверьте каждый элемент с буквальным условием: «меньше» не означает «меньше или равно».
Считают, что порядок или повторы меняют множество. К этому приводит привычка воспринимать список как последовательность, где место и число повторений имеют значение. Для проверки сравните именно состав элементов: {1, 2} и {2, 1, 1} задают одно множество.
Оставляют свойство слишком неопределённым. Например, не указывают, о каких числах идёт речь, поэтому условие можно истолковать по-разному. Проверьте, сможет ли другой человек по описанию получить тот же набор; если нет, уточните область объектов и границы.
Множества связаны с числами и числовыми промежутками: условие может отбирать из чисел только те, которые лежат между заданными границами. Знаки ∈ и ∉ помогают записывать результаты проверки условий и пригодятся при изучении логических высказываний. Умение задавать множество также нужно для описания групп объектов в задачах и для работы с данными: сначала формулируют правило отбора, а затем определяют, какие записи ему соответствуют.
Множество — совокупность объектов; объекты множества называются элементами.
Знак ∈ означает «принадлежит», а знак ∉ — «не принадлежит».
Множество можно задать перечислением, общим свойством элементов или правилом их получения.
При перечислении порядок не важен, а повторение элемента не меняет множество.
В описании через свойство уточняйте, какие объекты рассматриваются, и внимательно проверяйте границы условия.
§ 15. Способы задания множества
