"Информатика", Горячев А.В., Волкова Т.О.
Объединение множеств — это множество, в которое входят элементы каждого из исходных множеств. Оно помогает описывать объекты, подходящие хотя бы под одно из условий, и решать задачи на их подсчёт. Объединение обозначают знаком ∪: запись A ∪ B читают «A объединить с B». Общие элементы записывают только один раз, потому что в множестве не считают повторы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — это совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Его можно задать перечислением, например A = {1, 2, 3}, или условием: A — множество чётных чисел от 1 до 8. Перечисление удобно, когда объектов немного, а условие помогает описать подходящие объекты без длинного списка.
Элемент множества — объект, который принадлежит этому множеству. Знак ∈ читают «принадлежит»: 2 ∈ A означает, что число 2 входит в A. Знак ∉ означает «не принадлежит», поэтому 4 ∉ A, если A = {1, 2, 3}; эти обозначения позволяют точно проверять, входит ли объект в множество.
Объединение множеств — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Его обозначают A ∪ B и читают «объединение A и B». Это обозначение удобно, когда нужно собрать объекты из двух наборов, не разделяя их по исходным группам.
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают ∅. Оно может появиться, например, если ни один объект не подходит под заданное условие. При объединении пустое множество ничего не добавляет: A ∪ ∅ = A.
Чтобы получить объединение двух множеств, сначала собирают элементы первого и второго множеств. Затем проверяют, не встречается ли один объект в обоих списках, и оставляют его только один раз. Так получается именно множество: повторная запись того же элемента не создаёт нового элемента.
Элемент принадлежит объединению, если он входит хотя бы в одно исходное множество. Поэтому для проверки достаточно спросить: «Он входит в A или в B?» В логике «или» здесь не исключает случай, когда подходят оба условия: если элемент есть и в A, и в B, он тоже принадлежит A ∪ B.
Если множества заданы перечислением, объединение находят сравнением списков. Все элементы переносят в общий список, а повторяющиеся при совпадении множеств не дублируют. Например, у A = {2, 5} и B = {5, 7} общий элемент 5 остаётся в записи один раз: A ∪ B = {2, 5, 7}.
Если множества заданы условием, сначала выясняют, какие объекты подходят каждому условию. Затем объект включают в объединение, если он удовлетворяет хотя бы одному из них. Такой способ полезен, когда условие описывает числа, фигуры или другие объекты, а готового списка элементов нет.
На диаграмме множества обычно изображают областями, например кругами. Чтобы показать объединение, заштриховывают области, соответствующие обоим множествам, включая общую часть. Это наглядно передаёт правило «входит хотя бы в одно»: незаштрихованными остаются только объекты вне обоих множеств.
| Ситуация | Что входит в объединение | Пример |
|---|---|---|
| Множества не имеют общих элементов | Все элементы обоих множеств | {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4} |
| Множества имеют общие элементы | Все элементы, общие записывают один раз | {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4} |
| Одно множество содержится в другом | Элементы большего множества | {1, 2} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3} |
| Одно из множеств пустое | Элементы непустого множества | {1, 2} ∪ ∅ = {1, 2} |
Сначала определите, есть ли у множеств общие элементы и не содержится ли одно целиком в другом. Затем примените правило из соответствующей строки таблицы. В любом случае каждый элемент результата должен быть записан только один раз.
Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Нужно записать A ∪ B. В ответ должны войти все числа, которые есть хотя бы в одном из двух множеств. Число 3 встречается в обоих списках, но в результате это один элемент.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
A — множество чётных чисел от 1 до 8, B — множество чисел от 1 до 8, кратных 3. Найдём A ∪ B. Сначала перечислим числа, подходящие каждому условию, учитывая границы от 1 до 8. Затем соберём оба списка и уберём повторы, если они встретятся.
Ответ: A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8}.
Кружок информатики посещают 18 учеников, кружок робототехники — 12, а оба кружка — 5. Требуется узнать, сколько учеников посещают хотя бы один кружок. Если сложить 18 и 12, пять общих участников попадут в сумму дважды. Поэтому после сложения их нужно вычесть один раз.
Ответ: 25 учеников посещают хотя бы один из этих кружков.
Общий элемент иногда записывают дважды, механически соединяя списки. Так происходит, когда забывают, что повторная запись не создаёт нового элемента множества. Проверьте итог: для каждого значения достаточно одной записи, даже если оно встретилось в обоих наборах.
Некоторые считают, что в объединение входят только общие элементы. Это происходит из-за путаницы с пересечением: пересечение действительно содержит лишь то, что есть в обоих множествах. Для самопроверки вспомните правило: элемент объединения должен попасть хотя бы в один исходный список, а не обязательно в оба.
Условие принадлежности объединению иногда ошибочно читают как «элемент входит в оба множества». Причина — буквальное понимание слова «и» в записи A ∪ B, хотя проверка устроена по правилу «или». Проверьте себя на элементе, который есть только в A: он всё равно должен попасть в A ∪ B.
В задаче о численности часто складывают размеры групп и не учитывают общих участников. Каждый ученик из пересечения тогда считается дважды, потому что он посещает оба кружка. Чтобы проверить ответ, вычтите число общих участников один раз и убедитесь, что полученное количество не превосходит суммы численностей.
Для работы с объединением нужно уметь задавать множества перечислением и условием, а также проверять принадлежность элемента. Эти навыки позволяют находить состав объединения, даже если множество задано не готовым списком. При решении задач на подсчёт объединение помогает найти объекты, удовлетворяющие хотя бы одному условию.
Объединение связано с пересечением и разностью множеств. Объединение соответствует логическому «или», а пересечение — «и»: при пересечении подходят оба условия одновременно. Разность описывает элементы одного множества, которых нет в другом, поэтому эти операции помогают по-разному сравнивать наборы объектов.
Что означает знак ∪?
Знак ∪ обозначает объединение множеств. Запись A ∪ B означает множество всех элементов, которые принадлежат A или B.
Нужно ли повторять общий элемент при записи объединения?
Нет, каждый элемент записывают только один раз. Даже если он входит в оба множества, в объединении это всё равно один элемент.
Чем объединение отличается от пересечения?
В объединение входят элементы хотя бы одного из множеств. В пересечение входят только элементы, общие для обоих множеств.
Что получится при объединении множества с пустым множеством?
Получится исходное множество: A ∪ ∅ = A. В пустом множестве нет элементов, которые могли бы добавить что-то к A.
Как учитывать учеников, которые посещают оба кружка?
Таких учеников нужно посчитать один раз, а не включать отдельно в численность каждого кружка. Поэтому при сложении численностей число общих участников вычитают.
§ 21. Объединение множеств
