Раздел 4. Высказывания. Графы

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Зимой идёт снег» можно проверить и оценить. Вопрос «Который час?» и команда «Откройте тетрадь» высказываниями не являются.

Истинность высказывания — соответствие его содержания действительности. У высказывания есть одно из двух значений: истина или ложь. Это помогает не просто читать предложение, а проверять, соответствует ли оно фактам.

Граф — модель, состоящая из вершин и соединяющих их рёбер. Вершины изображают объекты или пункты, а рёбра — связи между ними. Например, на карте города можно представить вершинами, а дороги между ними — рёбрами.

Путь в графе — последовательность вершин, в которой соседние вершины соединены ребром. По пути можно описать перемещение от одного пункта к другому или цепочку связанных объектов. Если хотя бы одна соседняя пара не соединена, такая последовательность путём не считается.

Как это устроено

Предложение называют высказыванием не по внешнему виду, а по возможности проверить его содержание. Утверждение что-то сообщает, поэтому его можно сопоставить с фактами и выбрать значение «истина» или «ложь». Вопрос только запрашивает информацию, а побуждение требует действия, поэтому для них такая оценка не подходит.

Истинность определяется тем, о чём говорится и при каких обстоятельствах это рассматривается. Например, фраза «Сейчас день» может быть истинной утром и ложной ночью. Поэтому при проверке нужно учитывать время, место, условие задачи и значение слов, а не угадывать ответ по форме предложения.

Сложное высказывание получают, соединяя простые высказывания словами «и», «или», «не». Связка «и» требует истинности обеих частей, потому что общее утверждение нарушается даже одной ложной частью. При «или» достаточно истинности хотя бы одной части, а слово «не» заменяет истину ложью и наоборот.

Чтобы построить граф, реальные объекты и связи между ними заменяют простыми обозначениями. Вершиной становится сам объект, а ребром — существенная для задачи связь: дорога, кабель или знакомство. Несущественные подробности убирают, потому что они усложняют схему и не помогают ответить на вопрос.

Граф позволяет быстро увидеть непосредственных соседей и возможные маршруты. Сначала находят нужную вершину, затем проверяют линии, выходящие из неё, а для пути последовательно переходят по соединённым вершинам. Так решают задачи о перемещениях, связях и выборе маршрута без перечисления всех деталей реальной ситуации.

Элементы графа и их роль в модели

При чтении схемы сначала определите, что обозначают точки и линии именно в данной задаче. Затем найдите нужную вершину и проверьте соединения с ней. Для проверки пути просматривайте пары соседних вершин по порядку.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются высказываниями: «Зимой идёт снег», «Который час?», «Откройте тетрадь». Нужно не отвечать на вопрос и не выполнять приказ, а проверить, можно ли каждому предложению приписать истину или ложь.

1. «Зимой идёт снег» сообщает факт, который можно проверить, поэтому это высказывание.
2. «Который час?» запрашивает сведения и не утверждает факт, поэтому высказыванием не является.
3. «Откройте тетрадь» побуждает к действию, поэтому его нельзя оценить как истинное или ложное.

Ответ: высказывание только «Зимой идёт снег». Первое предложение можно оценить как истинное или ложное в зависимости от рассматриваемых условий, но два остальных оценивать так нельзя.

Задача 2. Для высказываний «Число 8 чётное» и «Число 8 больше 10» укажите истинность и определите истинность выражения, соединённого словом «и». Сначала проверяют части по отдельности, затем применяют правило логической связки.

1. Число 8 делится на 2 без остатка, значит, первое высказывание истинно.
2. Число 8 не больше 10, значит, второе высказывание ложно.
3. Связка «и» требует истинности обеих частей, поэтому выражение целиком ложно.

Ответ: первое высказывание истинно, второе ложно, а их соединение словом «и» ложно. Одной ложной части достаточно, чтобы всё составное высказывание оказалось ложным.

Задача 3. На схеме городов дороги обозначены линиями. Нужно записать граф, найти соседние с городом A города и указать путь из A в D. Для примера пусть дороги соединяют A с B и C, B с D, а C с D.

1. Вершинами будут города A, B, C и D, а рёбрами — пары городов, между которыми есть дорога.
2. У города A проверяем все выходящие линии: они ведут к B и C, значит, это его соседние вершины.
3. Один возможный путь из A в D выглядит так: A — B — D; каждая соседняя пара соединена дорогой.

Ответ: граф имеет вершины A, B, C, D и рёбра A—B, A—C, B—D, C—D. Соседи A — B и C, а путь из A в D — A—B—D; также возможен путь A—C—D.

Типичные ошибки

Ученик может считать вопрос или приказ высказыванием, потому что они записаны обычными предложениями. Ошибка возникает, если не проверить смысл фразы и сразу искать ответ. Спросите себя: утверждает ли предложение факт, который можно назвать истинным или ложным?

Иногда истинность определяют по форме предложения, не учитывая содержание и условия. Одинаковая фраза может иметь разные значения в разное время или в разных ситуациях. Проверьте факты, время, место и другие условия, указанные в задаче.

Вершину нередко путают с ребром, особенно если схема нарисована быстро. Вершина — это объект или пункт, а ребро — линия связи между объектами. Чтобы проверить себя, назовите отдельно, что можно подписать точкой, а что соединяет две точки.

Не любая запись вершин является путём: иногда в ней пропускают существующее ребро. Проверяйте не только начало и конец, но и каждую соседнюю пару в последовательности. Если хотя бы между двумя соседними вершинами нет линии, путь нарушен.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь различать предложения по смыслу и понимать отношения между объектами. Это позволяет отделять сообщение от вопроса или команды и правильно выделять связи для модели. Такие навыки нужны при составлении условий и описании ситуаций.

Высказывания пригодятся при изучении логических операций, алгоритмов и условий: программа часто проверяет, истинно ли некоторое утверждение. Графы применяют для моделирования сетей, маршрутов и связей между объектами. Поэтому тема связывает рассуждения с практическими задачами поиска пути и анализа данных.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Вопросы и побуждения не являются высказываниями.
• Сложное высказывание составляют из простых с помощью логических связок.
• Граф состоит из вершин и рёбер.
• Вершины обозначают объекты, рёбра — связи между ними.
• Путь проходит по последовательности вершин, соединённых рёбрами.