§ 25. Высказывания со связками «и», «или»

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «5 меньше 9» — истинное высказывание, а «5 больше 9» — ложное. Вопросы, команды и фразы с неопределённым значением нельзя оценить таким способом, поэтому они не считаются высказываниями. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие предложения можно проверять логическими правилами.

Составное высказывание — высказывание, образованное из простых с помощью логических связок. Простые высказывания в нём могут сообщать разные факты, а связка показывает, как их значения влияют на общий результат. Например, из утверждений «идёт дождь» и «дует ветер» можно составить несколько разных выражений. Понятие составного высказывания помогает описывать ситуации, в которых важно сразу несколько условий.

Связка «и», или конъюнкция, соединяет высказывания; результат истинен, только если истинны оба. Если записать высказывания буквами p и q, выражение обозначают «p и q». Например, условие «число больше 2 и меньше 8» требует одновременного выполнения двух частей. Это понятие нужно, когда объект должен обладать сразу несколькими признаками.

Связка «или», или дизъюнкция, соединяет высказывания; результат ложен, только если ложны оба. Выражение можно записать как «p или q». В остальных случаях, включая ситуацию, когда истинны оба высказывания, результат истинен. Дизъюнкция нужна, когда достаточно выполнить хотя бы одно из нескольких условий.

Как это устроено

Чтобы определить истинность составного высказывания, сначала выделяют входящие в него простые высказывания и устанавливают их значения. Это нужно потому, что связка сама по себе не сообщает, истинны ли части выражения. Например, в предложении «число чётное и больше 10» сначала проверяют отдельно чётность и величину числа. Только после этого можно применить правило «и» и получить однозначный результат.

При связке «и» оба условия должны выполняться одновременно; если хотя бы одно ложно, всё составное высказывание ложно. Причина в том, что выражение обещает выполнение каждого из соединённых условий. Если одно из них не выполнено, всё утверждение уже нельзя считать верным. Поэтому, проверяя «p и q», нужно убедиться в истинности и p, и q, а не выбрать одно из них.

При связке «или» достаточно истинности хотя бы одного условия; высказывание ложно лишь тогда, когда оба условия ложны. Такое правило соответствует ситуации выбора: для выполнения утверждения достаточно одного подходящего варианта. Если оба условия оказались истинными, это тоже подходит, потому что среди них есть хотя бы одно истинное. Ложным результат становится только тогда, когда ни один вариант не выполняется.

Таблицы истинности перечисляют все сочетания значений простых высказываний и показывают результат связки для каждого сочетания. У каждого простого высказывания есть два возможных значения — истина и ложь, поэтому для пары p и q нужно проверить четыре комбинации. Таблица позволяет не пропустить случай и быстро сверить рассуждение с правилами. Она особенно удобна, когда в выражении встречается несколько условий.

В обычном логическом смысле «или» не исключает одновременной истинности обоих высказываний: если истинны оба, результат тоже истинен. В повседневной речи иногда говорят «или» о выборе только одного варианта, но в логике связка устроена иначе. Поэтому нельзя автоматически переносить бытовое толкование в логическое выражение. Проверяйте, какое именно значение связки используется в задаче: здесь рассматривается обычное логическое «или».

Таблица истинности связок «и» и «или»

Сначала найдите строку с нужными значениями p и q. Затем прочитайте ответ в столбце связки, которая есть в выражении. Сравнение столбцов показывает: для «и» нужны два истинных значения, а для «или» достаточно одного.

Разбор задач

Задача 1

Пусть p: «7 — нечётное число», q: «7 больше 5». Определите истинность высказывания p и q. Нужно оценить обе части отдельно, потому что связка «и» зависит от значения каждого простого высказывания. После этого используем правило конъюнкции.

1. Проверяем p: число 7 не делится на 2 без остатка, значит, оно нечётное. Поэтому p истинно.
2. Проверяем q: 7 больше 5, значит, q тоже истинно. Оба простых высказывания получили значение «истина».
3. Для связки «и» смотрим, истинны ли обе части. Здесь обе истинны, поэтому составное высказывание истинно.

Ответ: p и q — истинное высказывание. Если бы хотя бы одна часть оказалась ложной, результат для связки «и» был бы ложным. Здесь этого не произошло.

Задача 2

Пусть p: «12 делится на 3», q: «12 делится на 5». Определите истинность высказывания p или q. Для начала отдельно проверим делимость на каждое число. Затем применим правило логического «или», которому достаточно одной истинной части.

1. Проверяем p: 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Значит, p истинно.
2. Проверяем q: 12 на 5 без остатка не делится. Значит, q ложно.
3. В выражении «p или q» одна часть истинна, а другая ложна. Для истинности дизъюнкции достаточно первой части, поэтому всё выражение истинно.

Ответ: p или q — истинное высказывание. Не нужно, чтобы оба условия выполнялись: это требование относится к связке «и». Для «или» достаточно хотя бы одного истинного условия.

Задача 3

Пусть p: «число x больше 2», q: «число x меньше 8». Составьте высказывания p и q и p или q, затем определите их истинность при x = 5 и x = 10. Подстановка значения позволяет проверить каждое условие, а после неё остаётся применить соответствующую связку. Рассмотрим значения x по очереди.

1. При x = 5 получаем p: «5 больше 2» — истина; q: «5 меньше 8» — тоже истина. Поэтому p и q истинно, а p или q также истинно.
2. При x = 10 условие p: «10 больше 2» истинно. Условие q: «10 меньше 8» ложно.
3. При x = 10 связка «и» даёт ложный результат, поскольку не выполнены оба условия одновременно. Связка «или» даёт истинный результат, поскольку условие p истинно.

Ответ: при x = 5 оба составных высказывания истинны. При x = 10 выражение p и q ложно, а p или q истинно. Значения простых высказываний при этом различны для двух подстановок.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что p и q истинно, когда истинно только одно высказывание. Её допускают, перенося правило «или» на связку «и» или воспринимая соединение слов как простой перечень. Чтобы проверить себя, спросите: выполнены ли обе части одновременно? Если хотя бы одна ложна, результат для «и» тоже ложен.

Вторая ошибка — считать p или q ложным, если истинно только одно высказывание. Так бывает, если забыть, что логическому «или» достаточно одного подходящего условия. Подставьте значения в таблицу: при сочетаниях «истина — ложь» и «ложь — истина» результат «или» истинен. Значит, одного истинного высказывания достаточно.

Третья ошибка — путать логическое «или» с исключающим «или» и считать результат ложным, когда истинны обе части. В обычной речи «или» иногда подразумевает выбор одного варианта, поэтому такое толкование кажется привычным. Проверьте, какое правило задано в теме: логическое «или» ложно только при двух ложных частях. Если оба высказывания истинны, результат тоже истинен.

Четвёртая ошибка — определять истинность составного высказывания, не проверив отдельно каждое простое. В длинном предложении легко пропустить условие или неверно оценить его значение. Сначала выпишите p и q и отметьте, истинно каждое из них или ложно. Затем выбирайте строку таблицы и применяйте нужную связку.

Связь с другими темами

Перед изучением связок нужно уметь отличать высказывания от вопросов, команд и предложений, истинность которых нельзя определить. Без этого нельзя установить значения частей, а значит, и проверить составное выражение. Логические связки используются при составлении условий в алгоритмах и записи логических выражений в программах. Таблицы истинности пригодятся дальше, когда появятся более сложные выражения и способы их преобразования.

Что запомнить

• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Связка «и» образует составное высказывание из простых.
• «И» истинно только тогда, когда истинны оба высказывания.
• «Или» ложно только тогда, когда ложны оба высказывания.
• В логике «или» допускает, что оба высказывания истинны.
• Таблица истинности показывает результат для всех сочетаний значений.