"Информатика", Горячев А.В., Волкова Т.О.
Отрицание — логическая операция, которая превращает высказывание в новое: оно утверждает, что исходное неверно. Отрицание нужно, чтобы точно описывать условия, проверять утверждения и записывать логические выражения. Его обозначают словом «не» или знаком ¬. Главное правило простое: если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно, а если исходное ложно — отрицание истинно. При этом отрицать нужно весь смысл утверждения, а в числовых условиях учитывать и границу равенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Земля вращается вокруг Солнца» — высказывание: его истинность можно проверить. Вопрос «Который час?» и команда «Закрой окно!» высказываниями не являются, потому что они не утверждают факт, который можно оценить как истинный или ложный. Это различие нужно, чтобы понимать, к каким предложениям применимы логические правила.
Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Если исходное предложение утверждает, что на улице идёт дождь, его отрицание сообщает, что дождя нет. Отрицание помогает выразить противоположное по истинности утверждение и проверить, верно ли исходное.
Логическое значение — одно из двух значений высказывания: «истина» или «ложь». Истинное высказывание при отрицании становится ложным, а ложное — истинным. Это нужно, чтобы определить значение нового высказывания, не проверяя его заново по отдельным признакам.
В обычной речи отрицание часто передают словом «не», а в логической записи — знаком ¬. Если A означает «На улице идёт дождь», запись ¬A читается «не A» или «На улице не идёт дождь». Знак ставят перед буквой, обозначающей исходное высказывание, чтобы сразу видеть, что именно отрицается.
Чтобы построить отрицание, сначала найдите, о ком или о чём говорится, а затем определите, какое свойство или факт утверждается. В отрицании предмет остаётся тем же, но утверждение о нём отвергается. Например, для «Снег белый» отрицание должно говорить о цвете снега, а не сообщать случайный другой факт. Так сохраняется связь между двумя высказываниями и становится понятно, что одно отрицает другое.
Истинность отрицания всегда противоположна истинности исходного высказывания. Если A истинно, утверждение «A неверно» не соответствует действительности, поэтому ¬A ложно. Если A ложно, то сообщение о его неверности истинно. Это правило удобно записать таблицей истинности: в ней для каждого значения A сразу показано значение ¬A.
Слово «не» само по себе ещё не гарантирует, что предложение является правильным отрицанием. Нужно проверить, отвергает ли оно именно смысл исходного утверждения, а не просто содержит отрицательную частицу. Например, отрицание «Все птицы умеют летать» — «Не все птицы умеют летать», а не обязательно «Ни одна птица не умеет летать». Точная формулировка не должна делать утверждение сильнее или слабее, чем требует исходный смысл.
При отрицании числового условия важно учесть все значения, которые не подходят под исходное условие, включая равенство. Если число больше 5, то оно не может быть равно 5; значит, отрицание «число больше 5» включает и числа меньше 5, и само число 5. Поэтому правильный вариант — «число не больше 5», то есть «число меньше или равно 5». Равенство нельзя пропустить, иначе часть возможных значений останется без ответа.
Запись ¬A используют и в более длинных логических выражениях. Сначала выясните, какое предложение обозначено буквой A, затем найдите его значение и замените истину на ложь или ложь на истину. Если A означает «Число 8 меньше 5», то A ложно, а ¬A истинно. Такой порядок помогает не путать значение исходного условия и его отрицания.
Пользуйтесь таблицей так: найдите строку со значением исходного высказывания A и прочитайте значение отрицания ¬A в последнем столбце. Примеры показывают, что отрицание утверждения о дожде зависит от фактической погоды, а ложное числовое утверждение имеет истинное отрицание. Во всех случаях значение меняется на противоположное.
| Исходное высказывание A | Логическое значение A | Отрицание ¬A | Логическое значение ¬A |
|---|---|---|---|
| A истинно | Истина | ¬A | Ложь |
| A ложно | Ложь | ¬A | Истина |
| На улице идёт дождь | Зависит от погоды | На улице не идёт дождь | Противоположное значению A |
| Число 8 меньше 5 | Ложь | Число 8 не меньше 5 | Истина |
Задача 1. Построить отрицание высказывания «Земля вращается вокруг Солнца» и определить его истинность.
Ответ: «Земля не вращается вокруг Солнца»; это ложное высказывание.
Задача 2. Записать отрицание высказывания «Число x больше 7» и объяснить его для целых чисел.
Ответ: отрицание — «x меньше или равно 7». Например, для целых чисел подходят 7, 6, 0 и отрицательные числа.
Задача 3. Для высказывания «Число n делится на 2 и больше 10» записать отрицание словами и определить, когда оно истинно.
Ответ: отрицание истинно, когда не выполнено хотя бы одно из исходных условий. Например, это верно для числа 8, которое не больше 10, и для числа 11, которое не делится на 2.
Ошибка — считать отрицанием любое предложение со словом «не». Так думают, потому что связывают отрицание только с частицей, но она может отрицать не тот факт или менять смысл не полностью. Проверьте себя: спросите, означает ли новая фраза именно «исходное утверждение неверно».
При отрицании условия x > 7 иногда пишут только x < 7. Такая запись пропускает x = 7, поскольку число 7 тоже не больше 7. Чтобы проверить ответ, подставьте граничное значение: если оно не удовлетворяет исходному условию, то должно попасть в его отрицание.
Ещё одна ошибка — оставлять логическое значение без изменения. Её допускают, когда оценивают новое предложение отдельно и забывают об общем правиле отрицания. Сверьтесь с таблицей: истине соответствует ложь, а лжи — истина.
Наконец, при составном высказывании можно отрицать только одну его часть, хотя требуется отвергнуть всё утверждение. Например, для «n делится на 2 и больше 10» неверно записать только «n не делится на 2». Проверка простая: перечислите все способы сделать исходное утверждение ложным; здесь достаточно, чтобы не выполнилось хотя бы одно из двух условий.
Чтобы работать с отрицанием, сначала нужно уметь отличать высказывания от вопросов и команд: только первым можно приписать истину или ложь. При отрицании составных высказываний учитывают логические операции «И» и «ИЛИ»: если исходные части соединены словом «И», его отрицание истинно при невыполнении хотя бы одной части. Эти правила нужны для составления условий в алгоритмах и программах. Проверяя логическое выражение, можно заменить условие его отрицанием и точнее описать ситуации, когда оно не выполняется.
Как понять, является ли предложение высказыванием?
Высказывание — предложение, которому можно однозначно приписать истину или ложь. Вопросы и команды не являются высказываниями: они ничего не утверждают, что можно было бы проверить.
Как правильно образовать отрицание высказывания?
Нужно сохранить предмет высказывания и отвергнуть то, что о нём утверждается. Затем проверьте, что получившееся предложение действительно означает: исходное утверждение неверно.
Почему отрицание истинного высказывания всегда ложно?
Истинное высказывание уже верно описывает ситуацию. Его отрицание утверждает обратное — что это описание неверно, поэтому оно ложно.
Как отрицать условие «число больше заданного»?
Нужно заменить условие «x > a» на «x ≤ a», то есть «x меньше или равно a». Равенство тоже подходит под отрицание, поэтому нельзя ограничиваться вариантом «x < a».
Как записывается отрицание в логическом выражении?
Отрицание высказывания A записывают знаком ¬ перед ним: ¬A. Читают эту запись «не A»; чтобы определить её значение, сначала выясняют истинность A, а затем меняют её на противоположную.
§ 24. Отрицание
