Определяем истинность утверждения

Определения и обозначения

Утверждение — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «7 больше 5» можно проверить. Это понятие помогает отделить проверяемые сообщения от вопросов и просьб.

Истинное утверждение соответствует действительности или известным математическим фактам. Фраза «12 делится на 3» истинна, потому что это подтверждается вычислением. Такое определение нужно, чтобы обосновывать правильность ответа, а не выбирать его по звучанию.

Ложное утверждение не соответствует действительности. Например, утверждение «15 — чётное число» ложно, поскольку 15 не делится на 2 без остатка. Для проверки полезно найти пример, который опровергает утверждение.

Истинность утверждения — характеристика, показывающая, верно ли его содержание. Утверждение имеет одно из двух значений: оно истинно или ложно. Это позволяет рассуждать по правилам логики и точно проверять условия задач.

Как это устроено

Вопросительные и побудительные предложения не являются утверждениями, потому что они не сообщают факт. Вопрос просит получить информацию, а просьба или приказ побуждают к действию. Поэтому нельзя сказать, что «Который час?» истинно или ложно: истинным либо ложным может быть ответ на этот вопрос.

Простое утверждение о знакомом факте проверяют, сравнивая его с известными знаниями и условиями. Если говорится о числе, используют свойства чисел; если об объекте — его наблюдаемые признаки или данное в задаче описание. Такой способ нужен потому, что правдоподобное звучание фразы ещё не доказывает её правильность.

Ложное общее утверждение можно опровергнуть одним подходящим примером, потому что для него достаточно существования хотя бы одного исключения. Если сказано «все объекты обладают свойством», найденный объект без этого свойства сразу разрушает слово «все». Но несколько подтверждающих примеров не доказывают истинность: следующий непроверенный объект может оказаться исключением.

Утверждение о конкретном математическом объекте проверяют по его условию. Сначала нужно понять, какое свойство заявлено, затем сопоставить его с определением или выполнить нужное вычисление. Например, для проверки делимости числа на 3 находят результат деления или используют признак делимости на 3.

Одно и то же предложение может быть истинным или ложным при разных условиях, потому что меняются объекты, числа или смысл используемых слов. Например, «это число чётное» истинно для 8 и ложно для 7. Поэтому перед проверкой нужно точно выяснить, о каком объекте и каком множестве объектов идёт речь.

Как распознать и проверить утверждение

Сначала определите, является ли предложение проверяемым сообщением. Затем выясните, говорится ли о конкретном объекте или обо всех объектах сразу.

Если утверждение общее, не ограничивайтесь несколькими примерами: ищите доказательство правила или возможное исключение.

Разбор задач

Задача 1. Какие предложения являются утверждениями?

Нужно рассмотреть предложения «7 больше 5», «Который час?» и «Открой окно». Для каждого выясним, можно ли однозначно установить истинность или ложность. Не будем путать проверяемое сообщение с вопросом или побуждением.

1. «7 больше 5» сообщает факт о числах. Его можно проверить сравнением, поэтому это утверждение.
2. «Который час?» просит сообщить время. Это вопрос, а не утверждение.
3. «Открой окно» побуждает к действию. Истинным или ложным приказ не бывает.

Ответ: утверждением является только предложение «7 больше 5». Остальные предложения утверждениями не являются.

Задача 2. Проверьте утверждения о числах

Нужно установить истинность фраз «12 делится на 3» и «15 — чётное число». В первом случае проверим делимость делением, во втором применим определение чётного числа. Каждый вывод должен опираться на вычисление или точное свойство.

1. 12 : 3 = 4, остатка нет, значит, 12 делится на 3.
2. Чётное число делится на 2 без остатка, а 15 : 2 даёт остаток 1. Следовательно, 15 не является чётным.

Ответ: первое утверждение истинно, второе ложно. Проверка показывает, почему оба вывода имеют именно такие значения.

Задача 3. Общее утверждение и контрпример

Проверим фразу «Все числа, кратные 4, чётные» и опровергнем фразу «Все числа, кратные 3, чётные». Число, кратное 4, имеет вид 4 · n, а число, кратное 3, можно выбрать так, чтобы оно было нечётным. Важно, чтобы контрпример действительно удовлетворял условию утверждения.

1. Любое число, кратное 4, представляется как 4 · n. Поскольку 4 · n = 2 · (2 · n), оно делится на 2 и является чётным.
2. Возьмём число 3. Оно кратно 3, но не делится на 2 без остатка, поэтому нечётное.
3. Число 3 подходит под условие и нарушает вывод, значит, оно является контрпримером.

Ответ: первое общее утверждение истинно. Второе ложно, а его контрпример — число 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое предложение утверждением. Так происходит, когда не замечают вопросительную или побудительную форму. Проверьте, сообщает ли фраза факт, который можно признать истинным или ложным.

Ошибка: определять истинность по правдоподобному звучанию. Знакомая формулировка может содержать неверное число или условие. Для самопроверки найдите факт, определение или вычисление, подтверждающее вывод.

Ошибка: объявлять общее утверждение доказанным после нескольких примеров. Удачные примеры показывают лишь отдельные случаи, а не все возможные случаи. Спросите себя, исключены ли остальные объекты рассуждением.

Ошибка: приводить неподходящий контрпример. Число или объект может нарушать вывод, но не соответствовать исходному условию. Сначала проверьте условие утверждения, затем — отсутствие указанного свойства.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь понимать смысл предложений и читать числовые записи. При проверке используются ранее изученные факты, определения свойств чисел и условия задач. Без точного понимания слов нельзя правильно определить, что именно требуется проверить.

Истинность утверждений понадобится в логических задачах и при работе с условиями. Позже на этой основе изучают логические операции, например объединение и отрицание высказываний. Умение находить контрпример помогает быстро проверять общие правила.

Что запомнить

• Утверждению можно приписать истинность или ложность.
• Вопрос и просьба не являются утверждениями.
• Истинное утверждение соответствует действительности.
• Ложное утверждение не соответствует действительности.
• Контрпример опровергает общее утверждение.
• Проверка отдельных примеров не всегда доказывает общее утверждение.