Истинные и ложные утверждения

Определения и обозначения

Утверждение — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Оно сообщает факт, свойство или отношение между объектами. Это понятие нужно, чтобы отделять проверяемые сообщения от вопросов и просьб.

Истинное утверждение — утверждение, содержание которого соответствует действительности. Например, фраза «У квадрата четыре стороны» сообщает верный факт. Определение истинности помогает понять, можно ли принять сообщение как правильное.

Ложное утверждение — утверждение, содержание которого не соответствует действительности. Фраза «7 — чётное число» имеет понятный смысл, но сообщает неверное. Такое различие позволяет находить ошибки в рассуждениях.

Отрицание утверждения — утверждение с противоположным смыслом: оно истинно тогда, когда исходное ложно, и наоборот. Для фразы «Сегодня идёт дождь» отрицанием будет «Сегодня дождь не идёт». Отрицание нужно, чтобы точно выразить отсутствие исходного факта.

Как это устроено

Вопросительные и побудительные предложения не считают утверждениями, потому что они не сообщают факт, который можно сравнить с действительностью. Вопрос «Который час?» требует ответа, но сам ничего не утверждает. Приказ «Откройте окно!» побуждает к действию, поэтому у него нет значения «истина» или «ложь».

Проверка утверждения начинается с понимания того, о чём именно оно сообщает. Затем содержание сравнивают с известными фактами, определениями или условиями задачи. Такой порядок нужен потому, что нельзя оценить истинность слов, смысл которых не установлен.

Истинность определяется смыслом предложения, а не тем, кто его произносит и насколько уверенно это делает. Человек может ошибаться, даже если говорит убеждённо, а случайное предположение иногда оказывается верным. Поэтому проверяют не голос говорящего, а само сообщение.

Отрицание меняет истинность исходного утверждения на противоположную: для истинного утверждения оно ложно, а для ложного — истинно. При этом нужно понять, что именно отрицается: весь факт, отдельный признак, один объект или условие. Например, отрицание «Все книги новые» — «Не все книги новые», а не обязательно «Все книги старые».

Одинаковые слова могут иметь разную истинность, если изменились место, время или объект. Сообщение «В классе светло» может быть истинным днём и ложным вечером, если свет выключен. Поэтому при проверке нужно учитывать все условия, относящиеся к утверждению.

Утверждения и их истинность

Сначала в таблице определяют, сообщает ли предложение какой-либо факт. Если это утверждение, его содержание сравнивают с действительностью или условием задачи. Для вопроса и побуждения в графе истинности записывают, что она не определяется.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются утверждениями: «Волга — река», «Открой учебник», «Ты решил задачу?». Нужно не оценивать вежливость или правдоподобие фраз, а определить их тип. Утверждением будет только предложение, сообщающее факт.

1. «Волга — река» повествует об объекте и его свойстве, поэтому это утверждение.
2. «Открой учебник» является побуждением к действию, поэтому утверждением не является.
3. «Ты решил задачу?» задаёт вопрос и не сообщает готовый факт, поэтому утверждением не является.

Ответ: утверждение только первое предложение. Остальные два предложения являются побуждением и вопросом.

Задача 2. Установите истинность утверждений: «12 делится на 3», «7 — чётное число», «У треугольника четыре стороны». Проверять их нужно по определениям и известным свойствам, а не по внешнему виду фразы. Каждое предложение сначала признаём утверждением, потому что оно сообщает проверяемый факт.

1. 12 делится на 3 без остатка: 12 : 3 = 4, значит, первое утверждение истинно.
2. Чётное число делится на 2 без остатка, а 7 на 2 не делится, значит, второе утверждение ложно.
3. У треугольника по определению три стороны, поэтому третье утверждение ложно.

Ответ: первое утверждение истинное, второе и третье ложные. Причина ложности — несоответствие содержания известным математическим фактам.

Задача 3. Для утверждения «Все ученики класса принесли тетради» составьте отрицание и определите его истинность, если один ученик тетрадь не принёс. Здесь важно отрицать утверждение о всех учениках, а не придумывать противоположные свойства тетрадей. Условие задачи уже содержит факт, необходимый для проверки.

1. Исходное утверждение говорит, что тетради принесли все ученики.
2. Его точное отрицание: «Не все ученики класса принесли тетради».
3. Один ученик тетрадь не принёс, поэтому отрицание соответствует условию и является истинным.

Ответ: «Не все ученики класса принесли тетради» — истинное отрицание. Исходное утверждение при этом ложно, потому что оно требует выполнения условия каждым учеником.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое предложение утверждением. Вопрос и приказ часто кажутся содержательными, но они не сообщают факт с проверяемой истинностью. Проверьте себя: можно ли ответить на предложение только «истинно» или «ложно», не выполняя просьбу и не давая ответа?

Иногда истинность определяют по правдоподобию или уверенности говорящего. Однако уверенный человек может ошибаться, а необычное сообщение — оказаться верным. Нужно отделить слова говорящего от фактов и проверить именно содержание.

Ложное утверждение путают с бессмысленным или непонятным предложением. Ложная фраза имеет ясный смысл, просто описанное в ней не соответствует действительности. Если смысл установить невозможно, сначала нужно уточнить предложение, а не называть его ложным.

Ещё одна ошибка — добавлять слово «не» в первое попавшееся место. Такое действие может изменить не весь смысл или создать другую фразу, поэтому отрицание окажется неточным. Проверьте, стало ли исходное истинное утверждение ложным, а исходное ложное — истинным.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь понимать смысл повествовательных предложений и отличать их от вопросов и побуждений. Это помогает правильно определить, какие фразы вообще можно проверять.

Понятие истинности используется при изучении логических операций, условий и ветвлений в алгоритмах. Программа проверяет условие и в зависимости от результата выбирает дальнейшее действие.

Проверка утверждений нужна при анализе данных и поиске ошибок в рассуждениях и программах. Если исходное условие понято неверно, неверным может стать и весь результат.

Что запомнить

• Утверждение сообщает о чём-либо и допускает оценку истинности.
• Вопросы и побуждения не являются утверждениями.
• Истинное утверждение соответствует действительности.
• Ложное утверждение не соответствует действительности.
• Отрицание истинного утверждения ложно, а отрицание ложного — истинно.
• Истинность определяется смыслом утверждения и условиями, к которым оно относится.