Истинные и ложные утверждения

Определения и обозначения

Утверждение — повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Оно сообщает о предмете, событии или числе. Это понятие нужно, чтобы отличать проверяемые сообщения от вопросов и побуждений.

Истинное утверждение — утверждение, содержание которого соответствует действительности или заданным условиям. Например, фраза «2 + 3 = 5» истинна. Такое определение помогает установить, что проверка дала правильный результат.

Ложное утверждение — утверждение, содержание которого не соответствует действительности или заданным условиям. Например, «10 меньше 4» — ложное утверждение. Оно показывает, что сообщённый факт или результат проверки неверен.

Значение истинности — ответ «истина» или «ложь», который приписывают утверждению. Сначала находят факты или используют условие задачи, а затем выбирают одно из этих двух значений. Поэтому значение истинности является итогом проверки.

Как это устроено

Утверждение отличается от вопроса, просьбы и команды тем, что сообщает о чём-либо. Вопрос ждёт ответа, просьба выражает желание, а команда побуждает к действию. Только сообщение можно сопоставить с фактами и решить, верно оно или нет.

Утверждение бывает истинным или ложным, потому что его содержание сравнивают с реальностью или условиями задачи. Если сказанное совпадает с тем, что известно, получают значение «истина». Если обнаруживается несоответствие, получают значение «ложь».

Для утверждений о числах проверяют указанное равенство или неравенство. Например, в утверждении «8 больше 5» сравнивают числа 8 и 5, а в утверждении «12 делится на 3» проверяют, получается ли деление без остатка. Такая проверка заменяет догадку точным действием.

Значение истинности зависит от условий, потому что исходные данные влияют на результат. Утверждение «a равно 7» истинно при a = 7, но ложно при a = 4. Поэтому переменную нельзя оценивать отдельно от её заданного значения.

Правдоподобное звучание не доказывает истинность утверждения. Фраза может казаться правильной из-за привычки или неполной информации. Нужно найти факт, выполнить вычисление или применить условие, а уже потом выбрать «истина» или «ложь».

Виды предложений и их оценка

Сначала определите, сообщает ли предложение факт или побуждает к действию. Если это сообщение, проверьте его содержание и поставьте «истина» или «ложь». Вопрос и команду не нужно оценивать таким способом.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид предложений

Нужно определить, какие из трёх предложений являются утверждениями: «Утром светит солнце», «Который час?», «Открой тетрадь». Для этого выясним, сообщает ли каждое предложение факт. Затем проверим, можно ли назвать его истинным или ложным.

1. «Утром светит солнце» сообщает о погоде, поэтому это утверждение.
2. «Который час?» задаёт вопрос и не сообщает готового факта.
3. «Открой тетрадь» является командой, то есть побуждает к действию.

Ответ: утверждение — «Утром светит солнце». Второе предложение — вопрос, третье — команда. Вопрос и команда не получают значения «истина» или «ложь».

Задача 2. Проверка утверждений при a = 7

Дано условие a = 7. Нужно определить истинность утверждений «a больше 5» и «a равно 9». Сначала заменим переменную a известным числом, чтобы сравнивать уже конкретные значения.

1. В первом утверждении получаем «7 больше 5». Это верно, значит, значение утверждения — «истина».
2. Во втором утверждении получаем «7 равно 9». Это неверно, значит, значение утверждения — «ложь».
3. Сравнение выполняем именно с числом 7, потому что оно задано условием.

Ответ: «a больше 5» — истинное утверждение, а «a равно 9» — ложное. Подстановка значения переменной позволяет не рассуждать наугад. Она связывает проверку с условием задачи.

Задача 3. Делимость числа 12

Для числа 12 проверим утверждения «Число делится на 3» и «Число делится на 5». Число делится на другое число, если при делении получается целое число без остатка. После проверки составим ещё по одному истинному и ложному утверждению.

1. 12 : 3 = 4, остатка нет, поэтому утверждение о делимости на 3 истинно.
2. 12 : 5 = 2 и остаток 2, поэтому утверждение о делимости на 5 ложно.
3. Пример истинного утверждения: «12 больше 10». Пример ложного утверждения: «12 равно 20».

Ответ: делимость на 3 — истина, делимость на 5 — ложь. Самостоятельные примеры также получили значения «истина» и «ложь». В каждом случае результат подтверждается вычислением или сравнением.

Типичные ошибки

Считать вопрос утверждением. Вопрос не сообщает факт, поэтому его нельзя признать истинным или ложным. Проверьте себя: есть ли в предложении сообщение, а не просьба назвать ответ?

Принимать любое повествовательное предложение за истинное. Повествовательная форма только сообщает мысль, но не доказывает её правильность. Выполните проверку по фактам или вычислениям.

Забывать условие задачи. Без значения переменной нельзя правильно оценить утверждение о ней. Сначала выпишите исходные данные и подставьте их в предложение.

Путать истинность с личной верой. Ученик может считать фразу правдоподобной, но это ещё не доказательство. Спросите себя, на какой факт, вычисление или условие опирается ваш ответ.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Утверждения нужны при записи условий задач и проверке результатов вычислений. Позже эти понятия помогут понимать логические операции и составные высказывания, в которых несколько утверждений соединяются между собой.

Что запомнить

• Утверждение сообщает о чём-либо.
• Утверждение можно оценить как истинное или ложное.
• Вопрос и команда не являются утверждениями.
• Истинность проверяют по фактам или условиям задачи.
• Для утверждения о переменной сначала учитывают её заданное значение.
• Правдоподобие не заменяет проверку.