Истинные и ложные утверждения

Определения и обозначения

Утверждение — повествовательное высказывание, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Оно сообщает что-либо о мире: например, «У квадрата четыре стороны». Это понятие нужно, чтобы отличать проверяемые сообщения от вопросов и побуждений.

Истинное утверждение — утверждение, содержание которого соответствует действительности. Если проверить сообщённый факт и он подтвердится, утверждение истинно. Такое определение помогает не полагаться на то, насколько убедительно звучит фраза.

Ложное утверждение — утверждение, содержание которого не соответствует действительности. Оно может быть сформулировано понятно и правильно, но сообщать неверный факт. Понятие нужно, чтобы отличать ошибочное сообщение от бессмысленной фразы.

Значение истинности — характеристика утверждения: «истина» или «ложь». Оно показывает результат проверки содержания высказывания. Это понятие пригодится, когда нужно сравнивать утверждения или выполнять логические действия с ними.

Как это устроено

Вопрос, просьба и команда не являются утверждениями, потому что не сообщают о том, как устроен мир. Вопрос просит дать сведения, а просьба или команда побуждает собеседника что-то сделать. Поэтому их нельзя проверить на соответствие действительности и назвать истинными или ложными.

Чтобы проверить утверждение, сначала выясняют, какой именно факт в нём описан, а затем сопоставляют этот факт с действительностью. Например, фразу о числе можно проверить вычислением или известным математическим правилом. Если факт подтверждается, утверждение истинно; если нет — ложно. Убедительный тон говорящего не служит доказательством.

При заданных условиях одно и то же утверждение имеет одно значение истинности, потому что факт либо соответствует действительности, либо не соответствует ей. Если результаты кажутся разными, обычно изменились условия проверки или смысл слов. Например, событие могло произойти в одном месте, но не произойти в другом. Значит, сначала нужно установить, о каких условиях идёт речь.

Высказывание должно быть достаточно точным, иначе непонятно, какой факт проверять. Слова «здесь», «сейчас» и «он» отсылают к месту, времени или человеку, которые должны быть известны из разговора. Без этого фразы «Здесь тепло» или «Он уже пришёл» могут иметь разные смыслы для разных людей. Контекст помогает установить, что именно утверждается.

Истинность утверждения не определяется тем, нравится ли оно человеку и согласен ли он с ним. Мнение или личная уверенность могут подсказать, что стоит проверить, но сами по себе не подтверждают факт. Для вывода нужны наблюдение, надёжные сведения или рассуждение. Поэтому при проверке отделяют содержание фразы от отношения к ней.

Примеры утверждений и их значения истинности

Пользуйся таблицей так: сначала прочитай утверждение и определи, что именно оно сообщает. Затем проверь это по определению, правилу или известному факту и только после этого выбери значение истинности. Основание показывает, почему выбран именно такой ответ.

Разбор задач

Задача 1. Определи, какие высказывания являются утверждениями: «Закрой окно», «Как тебя зовут?», «У недели семь дней». После этого установи истинность тех высказываний, которые можно оценить. Важно сначала определить цель каждой фразы: сообщить факт, спросить или побудить к действию.

1. «Закрой окно» — команда, она побуждает выполнить действие, но не сообщает факт.
2. «Как тебя зовут?» — вопрос, он запрашивает информацию, поэтому не является утверждением.
3. «У недели семь дней» — повествовательная фраза, сообщающая факт, значит, это утверждение.
4. Сверяем его содержание с известным устройством календарной недели: в ней семь дней. Следовательно, утверждение истинное.

Ответ: утверждение только «У недели семь дней»; оно истинное. Первые две фразы не имеют значения истинности, потому что являются командой и вопросом. Такой порядок не позволяет по ошибке присвоить истину или ложь любой фразе.

Задача 2. Определи истинность высказываний «У числа 12 есть делитель 3» и «Число 15 чётное». Делитель — это число, на которое исходное число делится без остатка. Проверим оба сообщения с помощью математических фактов, а не по тому, как они звучат.

1. Для первого высказывания проверяем деление: 12 ÷ 3 = 4, остатка нет.
2. Значит, число 3 действительно является делителем числа 12, и первое утверждение истинно.
3. Чётное число делится на 2 без остатка. При делении 15 на 2 остаётся 1.
4. Поэтому 15 не является чётным числом, и второе утверждение ложно.

Ответ: «У числа 12 есть делитель 3» — истина; «Число 15 чётное» — ложь. Вычисления показывают основание для каждого вывода. Если правило или вычисление не подтверждает содержание фразы, утверждение оказывается ложным.

Задача 3. Для высказываний «Сегодня идёт дождь» и «Автобус уже приехал» укажи, что нужно знать, чтобы определить их истинность. Обе фразы грамматически понятны, но в них есть слова, отсылающие к конкретным обстоятельствам. Без этих обстоятельств нельзя установить, какой именно факт проверять.

1. Для фразы «Сегодня идёт дождь» нужно знать, о какой дате и каком месте говорится.
2. Затем следует проверить, идёт ли дождь в этом месте в указанное время.
3. Для фразы «Автобус уже приехал» нужно выяснить, какой автобус имеется в виду, на какую остановку он должен прибыть и когда произнесена фраза.
4. После уточнения этих сведений можно проверить факт прибытия.

Ответ: для первой фразы нужны место и точная дата или время наблюдения; для второй — конкретный автобус, место и момент, к которому относится слово «уже». Когда контекст задан, содержание можно проверить. До этого нельзя уверенно назвать фразы истинными или ложными.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вопрос или приказ утверждением. Так происходит, когда любое предложение принимают за сообщение о факте, не замечая его цели. Проверь себя: фраза сообщает, как обстоят дела, или запрашивает ответ и побуждает к действию? Если она только спрашивает или командует, значения истинности у неё нет.

Вторая ошибка — объявлять фразу истинной, потому что она звучит убедительно. Этому мешает привычка доверять уверенной речи или знакомым словам, хотя убедительность не доказывает факт. Проверь себя: можешь ли ты привести основание, которое подтверждает содержание? Если нет, сначала найди сведения или выполни проверку.

Третья ошибка — путать ложное утверждение с бессмысленным или непонятным. Ложная фраза может быть совершенно ясной, но сообщать неверное; неясная фраза, напротив, может не позволять понять, что именно утверждается. Чтобы проверить себя, сформулируй содержание своими словами и сопоставь его с действительностью. Если смысл понятен, но факт не подтверждается, утверждение ложное.

Четвёртая ошибка — определять истинность фразы, не уточнив контекст. Слова «сейчас» и «здесь» могут относиться к разным временам и местам, поэтому ответ меняется вместе с условиями. Проверь себя: известно ли, где, когда и о ком говорится? Если нужных сведений нет, сначала уточни их, а не угадывай значение истинности.

Связь с другими темами

Для работы с утверждениями полезно различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Нужно также понимать слова и выражения, из которых складывается смысл высказывания: иначе нельзя точно определить, какой факт проверяется. Эти навыки помогают не смешивать утверждение с вопросом или командой и учитывать контекст. Позже понятия истины и лжи понадобятся при изучении логических операций и составных высказываний. Они также используются в алгоритмах с условиями: выполнение некоторых команд зависит от того, истинно ли проверяемое условие.

Что запомнить

• Утверждение сообщает что-либо о мире.
• Утверждение можно оценить как истинное или ложное.
• Истинное утверждение соответствует действительности.
• Ложное утверждение не соответствует действительности.
• Вопросы и команды не являются утверждениями.
• Для проверки некоторых утверждений необходим контекст.