После и перед

Определения и обозначения

Последовательность — упорядоченный ряд объектов, в котором для каждого элемента задано место. Например, в ряду «март, апрель, май» месяцы стоят не случайно, а в принятом порядке. Это понятие нужно, чтобы сравнивать положения объектов и находить их соседей.

Предыдущий элемент — элемент, расположенный непосредственно перед выбранным элементом. Для апреля в последовательности месяцев предыдущим будет март, а не январь, хотя январь тоже стоит раньше. Понятие помогает быстро находить ближайший объект слева или в начале выбранного направления.

Следующий элемент — элемент, расположенный непосредственно после выбранного элемента. После апреля в том же ряду находится май. Это понятие нужно, когда требуется продолжить последовательность или перейти к ближайшему элементу.

Порядковый номер — номер, показывающий положение элемента в последовательности. Если май имеет номер 3, то его предыдущий элемент обычно имеет номер 2, а следующий — номер 4. По номеру можно определить соседей, не перечитывая весь список.

Как это устроено

Понятия «перед», «после» и «между» появляются только после того, как выбран порядок объектов. В списке «А, Б, В» буква Б находится после А и перед В, а А и В находятся по разные стороны от неё. Если переставить объекты, отношения тоже изменятся, потому что они описывают не сами объекты, а их положения.

Отношения «перед» и «после» зависят от направления чтения или движения. При движении слева направо в ряду «1, 2, 3» число 1 находится перед 2, но при чтении справа налево перед 2 окажется 3. Поэтому сначала нужно договориться, откуда начинается просмотр и в каком направлении он идёт.

Порядковый номер позволяет находить соседей как по самому списку, так и по правилу. Для элемента с номером n предыдущий имеет номер n − 1, а следующий — n + 1. Правило работает только тогда, когда полученный номер не выходит за границы последовательности.

У первого элемента нет предыдущего, потому что перед его местом в последовательности ничего не стоит. У последнего нет следующего по той же причине: после его места ряд заканчивается. Это не означает, что элементы невозможно добавить, а только описывает данный, уже заданный список.

Чтобы восстановить порядок по условиям «раньше», «позже», «перед» и «после», каждое условие превращают в направление между объектами. Например, «А раньше Б» означает цепочку А → Б. Затем цепочки соединяют, размещают элементы от начала к концу и проверяют, что ни одно условие не нарушено; если получается круг, условия противоречат друг другу.

Положение элемента в последовательности

Сначала определите положение выбранного объекта, а затем смотрите на нужный столбец. Таблица особенно полезна для проверки крайних случаев: одного элемента, первого и последнего места.

Разбор задач

Месяцы в последовательности

Дана последовательность «март, апрель, май, июнь». Нужно назвать месяц перед маем и месяц после мая. Слово «перед» означает ближайшего соседа слева, а «после» — ближайшего соседа справа при чтении слева направо.

1. Находим май в списке: он стоит третьим.
2. Смотрим на элемент с номером 2: это апрель.
3. Смотрим на элемент с номером 4: это июнь.

Ответ: перед маем стоит апрель, после мая — июнь.

Фамилии по местам

Олег стоит перед Мариной, а Марина — перед Антоном. Требуется построить единую последовательность. Оба условия имеют общее звено — Марину, поэтому их можно соединить в одну цепочку.

1. Первое условие записываем так: Олег → Марина.
2. Второе условие добавляет продолжение: Марина → Антон.
3. Объединяем стрелки и читаем цепочку слева направо.

Ответ: Олег, Марина, Антон. Олег находится раньше обоих, а Антон позже обоих.

Восстановление порядка книг

Известно: первая книга раньше третьей, вторая позже первой, четвёртая перед второй, а третья перед четвёртой. Нужно сопоставить все ограничения, а не расставлять книги по порядку их упоминания.

1. Записываем условия как цепочки: 1 → 3, 1 → 2, 4 → 2 и 3 → 4.
2. Соединяем связанные звенья: 1 → 3 → 4 → 2.
3. Проверяем каждое условие: 1 раньше 3, 1 раньше 2, 4 перед 2, 3 перед 4.

Ответ: книги идут так: первая, третья, четвёртая, вторая. Все условия выполняются, поэтому противоречия нет.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть предыдущим элементом первый элемент последовательности. Так происходит, когда ученик запоминает слово «предыдущий», но не проверяет положение выбранного объекта. Проверьте себя: укажите номер объекта и уменьшите его на 1; для номера 1 подходящего места нет.

Вторая ошибка — называть элемент после выбранного при просмотре в обратном направлении. Причина в том, что направление не было зафиксировано заранее. Проверьте себя стрелкой движения: следующий объект должен встретиться первым именно при движении в выбранную сторону.

Третья ошибка — считать объект стоящим «перед» другим только потому, что его раньше написали в условии. Порядок слов в условии не заменяет построенную последовательность. Сначала расставьте объекты или соедините их стрелками, затем сравнивайте их места.

Четвёртая ошибка — забывать, что у последнего элемента нет следующего. Обычно пытаются прибавить 1 к его номеру, не проверяя границу списка. Убедитесь, что полученный номер существует; если он больше числа элементов, следующего нет.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь сравнивать положения объектов, читать последовательности и работать с порядковыми номерами. Эти умения позволяют переводить слова «раньше» и «позже» в конкретные места.

Знание соседних элементов пригодится при составлении алгоритмов, обработке списков и поиске элементов в массиве. В математике тема связана с числовым рядом, порядковыми числительными и отношениями «раньше — позже».

Что запомнить

• Последовательность задаёт порядок расположения объектов.
• Предыдущий элемент находится непосредственно перед выбранным.
• Следующий элемент находится непосредственно после выбранного.
• Первый элемент не имеет предыдущего.
• Последний элемент не имеет следующего.
• Порядковый номер показывает место элемента в последовательности.
• Условия «перед» и «после» нужно проверять относительно одного и того же направления.