§ 13. Основы логики: логические величины и формулы

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Москва — столица России» является высказыванием. Это понятие нужно, чтобы отделять утверждения, пригодные для логического анализа, от вопросов и команд.

Логическая величина — значение «истина» или «ложь», которое принимает высказывание. Обычно истину обозначают числом 1, а ложь — числом 0. Такие обозначения позволяют выполнять с высказываниями точные операции.

Логическая переменная — обозначение высказывания, способное принимать значения 0 или 1. Для переменных часто используют буквы A, B, C. Они позволяют записывать не конкретные предложения, а общие правила работы с их значениями.

Логическая формула — запись, составленная из логических переменных, логических операций и скобок. Например, A И НЕ B — логическая формула. Она нужна, чтобы получить значение сложного условия по значениям входящих в него переменных.

Как это устроено

Высказывание отличается от вопроса и команды тем, что у него есть однозначная оценка: истина или ложь. Вопрос «Который час?» ничего не утверждает, а команда «Закройте окно!» требует действия. Поэтому для них нельзя установить логическое значение без дополнительного ответа или выполнения действия.

Каждому высказыванию ставят в соответствие ровно одно из двух значений. Если утверждение соответствует действительности, ему присваивают 1, если не соответствует — 0. Два значения удобны тем, что компьютер может хранить и обрабатывать их как простые состояния: «да» и «нет».

Простые высказывания соединяют логическими операциями и получают сложные. НЕ отрицает высказывание, И требует одновременной истинности двух частей, а ИЛИ достаточно истинности хотя бы одной части. Так естественное условие переводится в короткую формулу, например A И (B ИЛИ C).

Результат операции зависит только от значений входящих в неё высказываний, а не от их содержания. Например, операция И даст ложь для любых двух операндов, если хотя бы один из них равен 0. Поэтому одну и ту же схему вычисления можно применять к условиям о погоде, числах или действиях пользователя.

В сложной формуле значение зависит от порядка выполнения операций. Сначала считают выражения в скобках, затем обычно выполняют НЕ, после него И, а затем ИЛИ. Скобки могут изменить этот порядок: A И (B ИЛИ C) и (A И B) ИЛИ C — разные формулы, поэтому их результаты не всегда совпадают.

Основные логические операции

В таблице сначала найдите нужную операцию и её условие истинности. Если формула содержит несколько действий, применяйте порядок из последней строки, а скобки считайте первыми. Для полной проверки сложной формулы можно составить таблицу истинности.

Разбор задач

Задача 1

Определим, являются ли высказываниями предложения «Москва — столица России», «Закройте окно!» и «Который час?». Для первого предложения также найдём значение истинности, потому что оно сообщает факт.

1. «Москва — столица России» — повествовательное утверждение, поэтому это высказывание.
2. Москва действительно является столицей России, значит значение высказывания равно 1, или «истина».
3. «Закройте окно!» — команда, а «Который час?» — вопрос. Для них нельзя установить истину или ложь, поэтому высказываниями они не являются.

Ответ: высказыванием является только первое предложение, его значение — истина (1).

Задача 2

Пусть A = 1 и B = 0. Требуется вычислить формулу A И НЕ B. Начинать нужно с НЕ, потому что отрицание выполняется раньше операции И.

1. Находим отрицание B: НЕ 0 = 1.
2. Подставляем результат в формулу: A И НЕ B = 1 И 1.
3. Операция И истинна, когда оба значения равны 1, поэтому 1 И 1 = 1.

Ответ: значение формулы A И НЕ B равно 1, то есть формула истинна.

Задача 3

Построим таблицу истинности для формулы (A И B) ИЛИ НЕ C. Три переменные дают 2³ = 8 наборов значений, поэтому проверим каждый набор и добавим промежуточные столбцы.

1. Для каждой строки вычисляем A И B, затем НЕ C.
2. Последним действием соединяем результаты операцией ИЛИ.
3. Получаем: 000→1, 001→1, 010→1, 011→0, 100→1, 101→1, 110→1, 111→1. Здесь тройка записана в порядке A, B, C.

Ответ: итоговые значения формулы для наборов 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 равны 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.

Типичные ошибки

Считать любое предложение высказыванием — ошибка. Вопрос и побуждение к действию не утверждают факт, поэтому у них нет значения 0 или 1. Проверьте себя вопросом: можно ли ответить именно «истина» или «ложь»?

Операцию И иногда принимают за обычное сложение. В логике результат И равен 1 только при двух единицах, а не при любом ненулевом результате. Составьте пару 1 И 0 и убедитесь, что ответ равен 0.

ИЛИ путают с исключающим «или», когда допускается только один вариант. В логике ИЛИ истинно и при двух истинных операндах. Проверка проста: 1 ИЛИ 1 должно давать 1.

Неправильный порядок операций меняет результат формулы. Такая ошибка появляется, когда выражение считают слева направо и забывают о скобках. Отметьте сначала скобки, затем НЕ, И и ИЛИ и только после этого выполняйте вычисления.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия высказывания, условия, переменной и значения переменной. Логические формулы применяются при составлении условий в программах и записи логических выражений. Дальше эти знания понадобятся для таблиц истинности, алгоритмов с ветвлением и логических схем.

Что запомнить

• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Логические значения обычно обозначают 1 и 0.
• Логическая переменная принимает только два значения.
• НЕ меняет значение на противоположное.
• Операция И истинна только при истинности обоих операндов.
• Операция ИЛИ ложна только при ложности обоих операндов.
• Скобки и порядок операций определяют способ вычисления логической формулы.