§ 15. Условия выбора и сложные логические выражения

Определения и обозначения

Условие выбора — логическое выражение, от значения которого зависит, какая ветвь алгоритма будет выполнена. Если условие истинно, выбирается первая ветвь, а если ложно — другая. Такое условие нужно, чтобы алгоритм мог реагировать на разные исходные данные.

Сложное логическое выражение — выражение, составленное из простых условий с помощью логических операций. Например, сравнения x ≥ 1 и x ≤ 10 можно объединить в одну проверку. Это позволяет описывать выбор, зависящий сразу от нескольких требований.

Конъюнкция — логическая операция «И». Её результат истинен только тогда, когда истинны оба соединённых условия. Операция нужна, когда должны одновременно выполняться все предъявленные требования.

Дизъюнкция — логическая операция «ИЛИ». Результат истинен, если истинно хотя бы одно из условий, а ложен только при ложности обоих. Её используют, когда подходит любой из нескольких вариантов.

Как это устроено

В конструкции выбора сначала проверяется условие, а затем выполняется только одна из ветвей. При истинном результате алгоритм идёт по первой ветви, при ложном — по альтернативной. Такое устройство позволяет не выполнять неподходящие команды и выбирать действие по текущей ситуации.

Простое условие обычно сравнивает два значения: например, проверяет, больше ли число нуля. Сравнение не даёт нового числа, а возвращает одно из двух логических значений — истину или ложь. Поэтому результат можно непосредственно использовать для выбора ветви алгоритма.

Несколько простых условий объединяют, когда одной проверки недостаточно. Например, для принадлежности числа отрезку от 1 до 10 нужно одновременно убедиться, что x не меньше 1 и не больше 10. Поэтому применяют операцию И: (x ≥ 1) И (x ≤ 10).

Операция НЕ меняет значение условия на противоположное, потому что отрицает результат проверки. Если x > 0 истинно, то НЕ(x > 0) ложно; если исходная проверка ложна, отрицание истинно. Скобки показывают, какую именно часть выражения нужно изменить.

При вычислении сложного выражения учитывают скобки и приоритет логических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем операции с более высоким приоритетом, поэтому отсутствие скобок может изменить смысл условия. Если порядок может вызвать сомнение, скобки лучше поставить явно.

Значения логических операций

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите значение каждого простого условия. Затем примените к ним нужную операцию и сравните получившуюся ситуацию с правилом в таблице.

Для операции И проверяют одновременную истинность двух условий, а для ИЛИ — наличие хотя бы одного истинного. Для НЕ достаточно знать значение одного исходного условия и заменить его на противоположное.

Разбор задач

Задача 1. Выбор ветви

Определим, будет ли выполнена ветвь «иначе», если условие выбора x > 0 ложно. В конструкции выбора ветвь «иначе» предназначена именно для случая, когда основное условие не выполняется. Поэтому достаточно связать название ветви со значением условия.

1. Рассматриваем условие x > 0.
2. По условию задачи оно ложно, то есть число x не больше нуля.
3. При ложном результате первая ветвь пропускается, и алгоритм переходит к ветви «иначе».

Ответ: да, ветвь «иначе» будет выполнена. Она выбирается потому, что условие x > 0 ложно.

Задача 2. Принадлежность отрезку

Проверим, принадлежит ли целое число x отрезку от 1 до 10 включительно. Границы включены, поэтому число должно удовлетворять сразу двум сравнениям: x ≥ 1 и x ≤ 10. Свяжем эти проверки операцией И.

1. Записываем первое условие: x ≥ 1.
2. Записываем второе условие: x ≤ 10.
3. Объединяем их: (x ≥ 1) И (x ≤ 10).
4. Если оба сравнения истинны, число принадлежит отрезку; иначе не принадлежит.

Ответ: составное условие имеет вид (x ≥ 1) И (x ≤ 10). Например, для x = 7 оно истинно, а для x = 12 ложно.

Задача 3. Выход за границы

Нужно проверить, подходит ли число x под условие «меньше 0 или больше 100», а затем записать его с использованием НЕ. Сначала соединяем исходные варианты операцией ИЛИ, потому что достаточно одного из них. Затем применяем правило отрицания: НЕ(A ИЛИ B) равносильно (НЕ A) И (НЕ B).

1. Исходное условие записываем так: (x < 0) ИЛИ (x > 100).
2. Обозначаем A: x < 0, B: x > 100.
3. Отрицаем выражение: НЕ(A ИЛИ B).
4. После раскрытия отрицания получаем (x ≥ 0) И (x ≤ 100).

Ответ: исходное условие — (x < 0) ИЛИ (x > 100), а его отрицание — (x ≥ 0) И (x ≤ 100). Отрицательное условие проверяет, что число находится внутри отрезка от 0 до 100 включительно.

Типичные ошибки

Используют И вместо ИЛИ, когда проверяют, что число меньше нижней границы или больше верхней. Эти два события обычно не могут произойти одновременно, поэтому выражение с И окажется ложным. Проверьте себя на числе −1 и на числе 101: хотя бы один вариант должен давать истину.

Считают, что выражение с ИЛИ истинно только при истинности обоих условий. На самом деле для него достаточно одного истинного условия, потому что выбирается любой подходящий вариант. Чтобы проверить правило, возьмите ситуацию, где первое условие истинно, а второе ложно.

Забывают, что НЕ меняет значение всего следующего условия, и неверно ставят скобки. Например, НЕ(x > 0) означает отрицание сравнения целиком, а не отдельного символа. Прочитайте выражение словами и спросите себя, какая именно проверка отрицается.

Не учитывают порядок выполнения логических операций и получают другой результат. Такая ошибка возникает, когда в одной записи смешаны И, ИЛИ и НЕ без скобок. При сомнении разделите выражение на части и расставьте скобки вокруг каждой смысловой проверки.

Связь с другими темами

До изучения сложных условий нужно уметь сравнивать числа и понимать логические значения «истина» и «ложь». Без этого невозможно определить результат отдельной части выражения. Сравнения становятся строительными блоками составного условия.

Сложные условия применяются в алгоритмах с ветвлением и при проверке нескольких требований в программах. Они помогают выбирать действие для разных диапазонов чисел, вариантов ввода и сочетаний признаков. Поэтому операции И, ИЛИ и НЕ встречаются во многих программах с условиями.

Что запомнить

• Условие выбора определяет, какая ветвь алгоритма будет выполнена.
• Результат логического выражения — истина или ложь.
• И даёт истину, только когда истинны оба условия.
• ИЛИ даёт истину, когда истинно хотя бы одно условие.
• НЕ меняет значение условия на противоположное.
• Скобки помогают задать порядок вычисления сложного выражения.