"Информатика", Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестакова Л.В.
Числа появились потому, что людям нужно было считать предметы и измерять величины. Сначала для счёта использовали пальцы, зарубки и другие наглядные знаки, а затем разные народы создали собственные способы записи чисел. Система счисления — это набор знаков и правил, по которым записывают числа. В непозиционной системе знак сохраняет значение, а в позиционной его значение зависит от разряда. Основание задаёт допустимые цифры и правила группировки; в привычной десятичной системе основание равно 10, а ноль помогает обозначить пустой разряд.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число — понятие, возникшее из необходимости считать предметы и измерять величины. Сначала число связывали с конкретным количеством, которое можно показать пальцами или зарубками. Позднее числа стали записывать условными знаками и использовать для вычислений. Это позволило работать не только с предметами, но и с отвлечёнными количествами.
Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых знаков и правил. Она объясняет, какие символы можно использовать и как из них составлять записи. Знание системы позволяет правильно прочитать число и понять, как его записать иначе. Без общих правил один и тот же набор знаков мог бы пониматься по-разному.
Непозиционная система счисления — система, в которой значение знака не зависит от его места в записи числа. Например, римский знак V обозначает пять и сохраняет это значение в разных числах. Такие записи удобны для отдельных случаев, но с ними труднее выполнять вычисления. Поэтому важно знать правила сочетания знаков.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её местом в записи числа и основанием системы. Одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки, сотни или другие разрядные значения. Это делает возможной краткую запись больших чисел и удобные вычисления. Основание показывает, сколько единиц одного разряда образуют единицу следующего.
Счёт и измерение стали нужны людям в повседневной жизни: нужно было знать количество добычи, предметов и запасов. На раннем этапе можно было загибать пальцы или делать зарубки, сопоставляя каждой отметке один предмет. Но такие способы неудобны, если количество велико или результат нужно сохранить надолго. Условные знаки помогли записывать числа и передавать сведения другим людям.
У разных народов возникали собственные способы записи, потому что у них были разные знаки и правила счёта. В древнеегипетской системе применялись особые символы для единиц, десятков, сотен и более крупных величин; знаки повторяли нужное число раз. В римской системе использовались буквы I, V, X, L, C, D и M с закреплёнными значениями. Вавилоняне применяли систему с основанием 60, следы которой сохранились в делении часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.
В непозиционной записи число получают, сочетая знаки по установленным правилам. Значение каждого знака остаётся постоянным, поэтому для большого количества могут потребоваться длинные записи. Например, в записи VIII знаки V и I не превращаются в другие значения из-за своего места. При этом порядок и сочетание символов всё же важны: римское число записывают не произвольным набором букв.
В позиционной системе цифра показывает количество единиц своего разряда. В числе 352 цифра 3 означает три сотни, а не просто три единицы; цифра 5 означает пять десятков, а 2 — две единицы. Основание определяет, сколько цифр доступно и сколько единиц младшего разряда составляют один следующий разряд. Например, у системы с основанием 5 есть цифры 0, 1, 2, 3 и 4, а разряды соответствуют степеням числа 5.
Десятичная система распространилась благодаря удобству записи и вычислений; её основание связано с десятью пальцами, которые часто служили наглядным средством счёта. В ней используются десять цифр — от 0 до 9, а каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Ноль важен не только как цифра, обозначающая отсутствие количества. Он сохраняет место пустого разряда: в записи 205 показывает, что десятков нет, и не даёт перепутать число с 25.
| Свойство | Непозиционная система | Позиционная система |
|---|---|---|
| Зависимость значения знака от его места | Значение знака не зависит от места | Значение цифры зависит от разряда |
| Набор знаков | Используются знаки с закреплёнными значениями | Используются цифры от 0 до основания минус 1 |
| Способ записи числа | Знаки сочетаются по правилам системы | Цифры записываются по разрядам |
| Наличие нуля и его роль | Ноль может отсутствовать или не выполнять роль заполнителя разряда | Ноль обозначает нулевое значение цифры и сохраняет место разряда |
| Пример системы | Римская | Десятичная, двоичная |
Сначала определите, зависит ли значение знака от его разряда: это главный признак позиционной системы. Затем сравните, как устроена запись числа и какую роль играет ноль. Таблица помогает быстро увидеть не только различия, но и то, почему вычисления в позиционных системах обычно удобнее.
Задача 1. Запишите число 8 римскими цифрами и объясните значение каждого знака. Здесь нужно вспомнить закреплённые значения римских символов и правило сложения знаков. Поскольку число 8 больше пяти на три единицы, к знаку пяти добавляют три знака единицы. Порядок записи получается от большего значения к меньшему.
Знак V обозначает пять, а знак I — одну единицу. Это постоянные значения символов, поэтому они не меняются в зависимости от разряда. Для записи восьми понадобятся один V и три I.
Записываем сначала V, затем три знака I: VIII. Складываем значения: 5 + 1 + 1 + 1 = 8. Следовательно, каждый I добавляет к пяти ещё одну единицу.
Ответ: 8 = VIII; V означает 5, каждый I означает 1.
Задача 2. Разложите число 352 на разрядные слагаемые в десятичной системе. В позиционной записи значение цифры определяется её местом. Поэтому нужно выяснить, сколько в числе сотен, десятков и единиц, а затем представить его как сумму этих частей. Такая проверка показывает, что цифры прочитаны именно по разрядам.
У числа 352 цифра 3 стоит в разряде сотен, значит, она обозначает 3 × 100. Цифра 5 стоит в разряде десятков и обозначает 5 × 10. Последняя цифра 2 находится в разряде единиц.
Составляем сумму: 352 = 3 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1. Вычисляем слагаемые: 300 + 50 + 2. Их сумма действительно равна 352, значит, разложение верно.
Ответ: 352 = 300 + 50 + 2.
Задача 3. Запишите число 234 в позиционной системе с основанием 5, используя разложение по степеням основания. В этой системе допустимы цифры 0, 1, 2, 3 и 4, поэтому результат не может содержать цифру 5. Чтобы найти запись, будем делить число на основание и учитывать остатки. Затем проверим полученные цифры разложением по степеням 5.
Делим 234 на 5: получаем частное 46 и остаток 4. Делим 46 на 5: частное 9, остаток 1. Далее 9 делится на 5 с частным 1 и остатком 4.
Делим последнее частное 1 на 5: получаем частное 0 и остаток 1. Читаем остатки в обратном порядке, начиная с последнего: 1, 4, 1, 4. Значит, запись числа в системе с основанием 5 — 1414₅.
Проверяем результат: 1 × 5³ + 4 × 5² + 1 × 5 + 4 = 125 + 100 + 5 + 4 = 234. Разложение вернуло исходное число, поэтому перевод выполнен правильно.
Ответ: 234₁₀ = 1414₅.
Ошибка: считать, что во всех системах значение знака зависит от его позиции. Так рассуждают, потому что в обычной десятичной записи разряд всегда влияет на значение цифры. Однако это свойство позиционных систем, а в непозиционных знак сохраняет своё значение. Проверьте себя на примере римского V: оно обозначает пять и в числе VIII.
Ошибка: путать основание с количеством разрядов в записи. Основание иногда ошибочно принимают за число цифр или за длину записи. На самом деле оно задаёт допустимый набор цифр и группировку разрядов, а длина зависит от самого числа. Например, число в системе с основанием 2 может иметь много разрядов, хотя цифр в ней всего две.
Ошибка: использовать цифру, равную основанию или большую него. Это происходит, когда правила десятичной записи автоматически переносят на другую систему. В позиционной системе с основанием 5 допустимы только цифры от 0 до 4. Сверьте каждую цифру результата с этим диапазоном: если встретилась 5 или больше, запись неверна.
Ошибка: считать ноль только обозначением отсутствия количества. При таком подходе забывают, что в позиционной записи ноль удерживает место разряда. Например, в числе 205 он указывает, что десятков нет, но сохраняет сотни и единицы на своих местах. Проверьте смысл записи, прочитав значение каждого разряда, включая пустые.
Для понимания систем счисления нужно знать натуральные числа, разряды и привычную десятичную запись. Представление числа как суммы разрядных слагаемых помогает увидеть, почему одна и та же цифра может иметь разное значение. Эти знания понадобятся при переводе чисел между системами счисления. Они также станут основой для изучения двоичного представления данных в компьютере, где используются цифры 0 и 1.
Почему люди начали записывать числа?
Людям требовалось считать предметы, вести учёт запасов и измерять величины. Пальцы и зарубки помогали при небольшом счёте, но для хранения и передачи больших чисел понадобились условные знаки.
Чем позиционная система отличается от непозиционной?
В непозиционной системе знак имеет постоянное значение независимо от своего места. В позиционной его значение определяется и самой цифрой, и разрядом, в котором она стоит.
Почему в десятичной системе десять цифр?
У десятичной системы основание 10, поэтому для записи чисел используются десять цифр: от 0 до 9. Вероятно, распространению этой системы помог счёт на пальцах обеих рук.
Зачем нужен ноль в записи числа?
Ноль обозначает отсутствие единиц в определённом разряде: например, в числе 205 нет десятков. Он также является цифрой и позволяет записывать числа, в которых такой разряд пуст.
Почему римская система счисления считается непозиционной?
Римские знаки имеют закреплённые значения: например, I означает единицу, а V — пять. Хотя порядок знаков влияет на правила сложения и вычитания, значение каждого знака не определяется разрядом, как в позиционной системе.
§ 17. История чисел и систем счисления
