"Информатика", Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестакова Л.В.
Система счисления задаёт, как записывать числа цифрами и определять их значение. В двоичной системе всего две цифры — 0 и 1, поэтому любое число в ней строится из разрядов с весами, равными степеням двойки. Умение переводить числа из двоичной записи в десятичную и обратно, а также выполнять двоичные сложение и умножение помогает понять, как компьютер хранит и обрабатывает данные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи чисел с помощью набора цифр и правил их использования. В непозиционной системе значение знака не меняется от его места, а в позиционной зависит от позиции: например, в числе 222 цифры 2 обозначают разные количества. Это различие помогает понять, почему одинаковые цифры могут вносить разный вклад в число.
Основание системы счисления — число, показывающее, сколько разных цифр используется в позиционной системе и во сколько раз различаются веса соседних разрядов. Например, в десятичной системе основание равно 10, используются цифры от 0 до 9, а каждый разряд слева весит в десять раз больше соседнего справа. Основание нужно знать, чтобы правильно читать разряды и переводить запись числа.
Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, в которой используются только цифры 0 и 1. Вес разряда справа налево возрастает как 1, 2, 4, 8 и далее. Такая запись удобна компьютеру, потому что информацию можно представить двумя состояниями, например наличием или отсутствием электрического сигнала.
Двоичная арифметика — выполнение арифметических действий над числами, записанными в двоичной системе. В ней складывают и умножают по разрядам, используя только 0 и 1, а при необходимости переносят единицу в следующий разряд. Это позволяет выполнять вычисления прямо с двоичными данными.
В позиционной записи каждая цифра умножается на вес своего разряда, а число получается сложением этих произведений. Вес разряда определяется основанием системы: справа налево это основание в степенях 0, 1, 2 и так далее. Например, запись 347₁₀ означает 3 · 10² + 4 · 10¹ + 7 · 10⁰. Такой способ объясняет, почему цифра 3 в сотнях означает не то же самое, что цифра 3 в единицах.
Чтобы перевести двоичное целое число в десятичное, справа налево назначают разрядам степени двойки, начиная с нулевой. Затем каждую цифру умножают на вес её позиции и складывают результаты. Цифра 0 ничего не добавляет, а цифра 1 добавляет вес своего разряда. Например, в записи 1011₂ единицы стоят на местах с весами 8, 2 и 1, поэтому число равно 8 + 2 + 1 = 11₁₀.
Для перевода десятичного целого числа в двоичное число последовательно делят на 2 и записывают остатки. Остаток каждого деления равен 0 или 1, поэтому он подходит для двоичной записи. Первый остаток относится к единицам, следующий — к разряду двоек, затем к разряду четвёрок и так далее; поэтому остатки читают в обратном порядке. Деление продолжают, пока частное не станет нулём.
Правила сложения и умножения в двоичной системе похожи на привычные десятичные: действия выполняют по разрядам, а результаты разрядов объединяют. Но цифр всего две, поэтому при сложении двух единиц результат записывается как 10₂, а не как цифра 2. Единица в записи 10₂ означает перенос в разряд, который вдвое весомее. В умножении работают те же принципы разрядности, что и в столбик с десятичными числами.
При сложении начинают с правого разряда и учитывают перенос, пришедший справа. Если сумма в разряде равна 2, пишут 0 и переносят 1 влево; если равна 3, пишут 1 и также переносят 1. При умножении каждую цифру множителя умножают на всё первое число: умножение на 0 даёт нули, а на 1 оставляет число без изменения. Частичные произведения сдвигают влево по числу разрядов цифры множителя, затем складывают.
В таблице собраны четыре приёма: перевод в обе стороны, сложение и умножение. Сначала выберите строку, соответствующую задаче, а затем выполните действия по правилу и сравните ход работы с примером. При переводе проверяйте разрядные веса, а при арифметике — переносы и сдвиги.
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Перевод двоичного числа в десятичное | Умножить каждую цифру на степень 2 её разряда, начиная справа с 2⁰, и сложить. | 1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 11₁₀ |
| Перевод десятичного целого числа в двоичное | Делить на 2, записывать остатки и прочитать их снизу вверх. | 13₁₀: остатки 1, 0, 1, 1; ответ 1101₂ |
| Сложение двоичных чисел | Складывать справа налево; при сумме 2 или 3 записывать остаток после деления на 2 и переносить 1. | 1011₂ + 1101₂ = 11000₂ |
| Умножение двоичных чисел | Получить частичные произведения и сдвигать каждое влево по позиции цифры множителя. | 101₂ × 11₂ = 101₂ + 1010₂ = 1111₂ |
Задача 1. Переведите число 1011₂ в десятичную систему. Чтобы не перепутать веса, начнём с правой цифры и будем увеличивать показатель степени двойки при движении влево. Затем сложим только те веса, которым соответствуют единицы.
Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Проверка обратным переводом подтверждает результат: 11 = 8 + 2 + 1, то есть в разрядах 8, 2 и 1 стоят единицы.
Задача 2. Переведите число 25₁₀ в двоичную систему. Деление на 2 выделяет цифру очередного разряда: остаток 0 означает чётное число, а остаток 1 — нечётное. Поскольку первое деление определяет самую правую цифру результата, остатки в конце придётся развернуть.
Ответ: 25₁₀ = 11001₂. Проверим: 11001₂ = 16 + 8 + 1 = 25, значит, перевод выполнен верно.
Задача 3. Вычислите 1011₂ + 1101₂ и 101₂ × 11₂. В первом примере складываем по разрядам справа налево и каждый раз учитываем перенос. Во втором сначала умножаем на цифры множителя, а затем сдвигаем произведение, соответствующее его старшему разряду.
Ответ: 1011₂ + 1101₂ = 11000₂; 101₂ × 11₂ = 1111₂. Проверка в десятичной системе даёт 11 + 13 = 24 и 5 × 3 = 15.
При переводе двоичного числа в десятичное иногда начинают отсчёт степеней 2 не с нуля у крайней правой цифры. Ошибка возникает, когда разряды считают слева направо или забывают, что справа находятся единицы. Чтобы проверить себя, подпишите под цифрами степени от 2⁰ справа и убедитесь, что каждый следующий разряд влево вдвое больше.
При делении десятичного числа на 2 остатки иногда записывают сверху вниз, хотя в таком порядке получается обратная запись ответа. Это происходит потому, что первые найденные остатки относятся к младшим разрядам. Перечитайте остатки снизу вверх и проверьте полученное число переводом обратно в десятичную систему.
В двоичном сложении ошибочно записывать результат 1 + 1 как цифру 2. Так делают по привычке к десятичной записи, но в двоичной системе цифры 2 нет. Правильно записать 0 и перенести 1 влево; самопроверка проста: два единичных разряда должны дать 10₂.
При умножении можно забыть сдвинуть частичные произведения согласно разрядам множителя. Тогда цифры складываются так, будто каждый разряд имеет одинаковый вес, и ответ получается неверным. Подписывайте сдвиг каждого произведения до сложения и проверяйте ответ умножением тех же чисел в десятичной системе.
Для работы с позиционной записью нужно понимать разряды десятичного числа и то, как позиция меняет значение цифры. Также пригодятся умножение, сложение и деление натуральных чисел, поскольку перевод и двоичные действия основаны на знакомых вычислениях. Эти знания помогают не просто запоминать алгоритмы, а объяснять, почему они работают.
Перевод чисел и двоичная арифметика показывают, как компьютер представляет и обрабатывает данные. Любую информацию можно закодировать последовательностями нулей и единиц, а вычисления выполнять правилами двоичной арифметики. Поэтому двоичная запись связывает школьные вычисления с устройством цифровой техники.
Почему в двоичной системе используются только цифры 0 и 1?
У двоичной системы основание 2, поэтому для записи чисел нужны две цифры: 0 и 1. Значение числа задаётся не отдельными цифрами, а также их позициями и весами разрядов.
Как определить, какую степень двойки поставить под каждой цифрой?
Начните с крайней правой цифры: ей соответствует 2⁰. Двигаясь влево, увеличивайте показатель на единицу: 2¹, 2², 2³ и так далее.
Почему остатки при переводе десятичного числа нужно читать снизу вверх?
Первый остаток показывает младший разряд двоичного числа, то есть цифру справа. Каждый следующий остаток относится к разряду левее, поэтому готовое число записывают в обратном порядке.
Что делать, если при сложении двух двоичных разрядов получается 1 + 1?
Запишите в этом разряде 0, а 1 перенесите в следующий разряд слева. Это потому, что 1 + 1 = 10₂: два в десятичной записи — это единица во втором разряде и ноль в первом.
Зачем при умножении двоичных чисел сдвигать частичные произведения?
Каждая цифра второго множителя относится к своему разряду, поэтому произведение на неё нужно записать со сдвигом. Сдвиг на один разряд влево означает умножение на 2, на два разряда — на 4.
§ 18. Перевод чисел и двоичная арифметика
