2.1. Системы, модели, графы

Определения и обозначения

Система — целое, состоящее из взаимосвязанных частей. Эти части называют элементами системы. Понятие системы нужно, чтобы рассматривать не отдельные предметы, а целое и связи, которые помогают ему работать или сохранять общее свойство.

Модель — упрощённое представление объекта, процесса или явления, которое отражает важные для поставленной цели свойства. Например, план комнаты показывает расположение предметов, но не обязан передавать их цвет. Модели нужны, чтобы изучать объект или решать задачу, не описывая каждую его подробность.

Граф — способ представить объекты и связи между ними с помощью вершин и соединяющих их рёбер. Вершина графа изображает объект, а ребро — связь между объектами. Ребро может быть ненаправленным или направленным, поэтому граф помогает показывать как обычные связи, так и связи с заданным направлением.

В вершинах графа записывают или изображают объекты, например города или людей, а рёбрами обозначают отношения между ними. Если связь действует в обе стороны, ребро обычно изображают без стрелки; если только в одну — со стрелкой. Такое обозначение позволяет не перепутать сами объекты с тем, что их связывает.

Как это устроено

Систему выделяют среди окружающих объектов, определяя её назначение, состав и границы. Это нужно потому, что без границ непонятно, какие элементы относятся к целому, а какие находятся вне его. Один и тот же объект может быть частью разных систем: например, ученик входит и в класс, и в школьную систему обучения. Поэтому состав системы зависит от того, какую именно систему мы рассматриваем.

Элементы системы связаны между собой, и именно связи позволяют им образовывать целое. Если изменить один элемент, это может повлиять на другие: например, неисправность одной детали устройства способна помешать работе всего устройства. Совокупность таких связей называют структурой системы. Изучая структуру, можно понять, как взаимодействуют элементы и почему система действует именно так.

Модель создают для решения конкретной задачи, потому что одному объекту свойственно множество характеристик, но не все они нужны одновременно. Сначала формулируют цель: например, выясняют, как расставлена мебель в комнате. Затем оставляют свойства, которые помогают ответить на вопрос, и отбрасывают лишние для этой цели детали. Благодаря такому отбору модель получается понятной и удобной для работы.

Один объект можно описать разными моделями, потому что задачи исследования различаются. Чтобы найти дорогу, пригодится карта, а чтобы оценить загруженность улиц — схема движения или данные о трафике. Ни одна из этих моделей не обязана полностью совпадать с реальным объектом: каждая передаёт только нужную сторону. Поэтому модель выбирают не по принципу «самая подробная», а по тому, насколько хорошо она помогает решить поставленную задачу.

Граф помогает наглядно описывать состав системы и связи между её элементами. Для этого каждому объекту ставят в соответствие вершину, а каждой выбранной связи — ребро между нужными вершинами. Например, в графе школьных знакомств вершинами будут люди, а рёбрами — знакомства. Если отношения имеют направление, его отмечают стрелкой: так можно показать, например, кто подписан на чей канал или куда разрешено ехать по дороге.

Система, модель и граф

Таблица помогает сравнить три понятия и не смешивать их: система описывает целое и его элементы, модель представляет объект с выбранной целью, а граф показывает объекты и связи. В графе вершины соответствуют объектам, рёбра — связям; направление ребра при необходимости отмечают стрелкой. Используй столбец с примером, чтобы проверить, понимаешь ли ты, как применить понятие.

Разбор задач

Задача 1. Назвать систему, элементами которой являются ученик, учитель и учебник, и указать её назначение. Нужно учесть, что одних перечисленных предметов недостаточно: требуется показать, как они связаны. По этим элементам можно выделить систему учебной работы на уроке.

1. Определяем границы: рассматриваем ситуацию обучения на уроке, а не всю жизнь ученика или учителя.
2. Называем элементы: ученик, учитель и учебник.
3. Устанавливаем связи: учитель объясняет материал, ученик его изучает, а учебник помогает получать и проверять знания.
4. Формулируем назначение по общей работе элементов: организация изучения учебного материала.

Ответ: система — учебная работа на уроке; её элементы — ученик, учитель и учебник, а назначение — изучение учебного материала. Связи между элементами позволяют рассматривать их как целое, а не как случайный набор.

Задача 2. Для описания школьного кабинета выбрать модель, если нужно определить расположение парт и доски. Можно было бы перечислить цвета мебели, описать освещение или составить план. Выбор зависит от того, какие сведения непосредственно отвечают на поставленный вопрос.

1. Выделяем цель: выяснить, где стоят парты и доска.
2. Определяем нужные свойства: расположение предметов относительно друг друга и стен кабинета.
3. Выбираем план кабинета, потому что на нём можно изобразить места и взаимное расположение объектов.
4. Исключаем сведения о цвете и освещении: они не помогают определить расположение парт и доски.

Ответ: подходит план кабинета. Он передаёт важные для задачи пространственные свойства, а описание цвета и освещения понадобилось бы для других целей. Модель выбирают по задаче, а не по количеству подробностей.

Задача 3. Изобразить графом сеть дорог между четырьмя населёнными пунктами и указать, какие дороги односторонние. В условии не названы конкретные пункты и дороги, поэтому граф строится по описанию сети. Нужно отдельно обозначить объекты, связи и направление движения.

1. Рисуем четыре вершины и подписываем их названиями населённых пунктов.
2. Для каждой существующей дороги соединяем соответствующую пару вершин ребром.
3. Дороги с движением в обе стороны показываем ненаправленными рёбрами.
4. На односторонних дорогах ставим стрелку в сторону разрешённого движения.

Ответ: вершины обозначают четыре населённых пункта, а рёбра — дороги между ними. Односторонние дороги отмечены стрелками, поэтому направление движения можно определить по графу. Перед построением нужно знать, какие именно пары пунктов соединены дорогами.

Типичные ошибки

• Считать системой любой набор предметов. Ошибка возникает, когда замечают только состав и забывают о связях и общем назначении или свойстве. Проверь себя: можешь ли ты объяснить, как элементы связаны и почему рассматриваешь их вместе?
• Путать объект и его модель. Модель принимают за сам объект, потому что она может выглядеть похоже или подробно его описывать. Но модель передаёт лишь выбранные свойства. Проверь себя: можно ли по модели узнать, что именно она показывает и чего не показывает?
• Считать, что у объекта есть только одна правильная модель. Так думают, если не учитывают цель создания модели. Для разных вопросов подходят разные представления. Проверь себя: изменится ли модель, если вместо расположения предметов нужно изучить их цвет или работу?
• Путать вершины с рёбрами или не учитывать направление ребра. Это происходит, когда не разделяют объекты и связи между ними либо игнорируют стрелки. Проверь себя: обозначают ли вершины сами объекты, а каждое ребро — связь? Если есть стрелка, учитывай, куда она направлена.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно уметь выделять объекты и их свойства, а также устанавливать связи между объектами. Это помогает понять, какие части составляют систему и что именно будет изображено в графе. Понятие системы пригодится при изучении компьютера и других устройств как совокупности взаимодействующих частей. Графы используют для представления сетей и маршрутов, поэтому они помогают наглядно описывать связи между объектами в разных задачах.

Что запомнить

• Система состоит из взаимосвязанных элементов.
• Состав и структура — важные характеристики системы.
• Модель создают для определённой цели.
• Для одного объекта можно построить разные модели.
• В графе объекты изображают вершинами, а связи — рёбрами.
• Направление ребра показывает, что связь может быть односторонней.