"Информатика", Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестакова Л.В.
Компьютер хранит числа в виде последовательностей нулей и единиц. Чтобы понять, какое значение закодировано, нужно учитывать позицию каждого бита и способ хранения числа. Целые числа занимают ограниченное количество разрядов, поэтому не любое значение можно представить. Вещественные числа кодируются знаком, порядком и значащей частью: такая запись охватывает широкий диапазон, но иногда получается приближённой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двоичная система счисления — позиционная система, в которой используются только цифры 0 и 1. Значение цифры зависит от её места в записи, поэтому одинаковая цифра в разных разрядах означает разное количество. Эта система нужна, чтобы описывать данные в форме, удобной для хранения компьютером.
Разрядная сетка — упорядоченный набор позиций, отведённых для записи числа. Каждая позиция имеет свой вес: справа налево это степени числа 2, начиная с 2⁰. Разрядная сетка помогает определить значение двоичной записи и понять, сколько места отведено числу.
Целое число в памяти компьютера — число, значение которого закодировано последовательностью битов, то есть разрядов со значениями 0 или 1. Для него заранее выделяют определённое количество разрядов. Это понятие нужно, чтобы учитывать, какие целые значения программа сможет сохранить.
Вещественное число в памяти компьютера — число, которое обычно представляют отдельными частями: знаком, порядком и значащей частью. Знак показывает, положительное число или отрицательное, порядок задаёт масштаб, а значащая часть хранит его цифры. Такое устройство позволяет записывать дроби и числа разных величин.
В компьютере данные хранят физические элементы памяти, состояние которых можно различить. Удобно и надёжно различать два устойчивых состояния: например, наличие или отсутствие электрического сигнала. Их обозначают цифрами 1 и 0, поэтому двоичное представление стало основой хранения и обработки данных. Сложные числа и команды компьютер строит из последовательностей таких простых состояний.
В двоичной записи каждый разряд отвечает за свою степень двойки. Чтобы узнать значение числа, умножают цифру в каждом разряде на его вес и складывают результаты; разряды с нулём вклада не дают. Например, в записи 1011₂ единицы стоят на местах с весами 8, 2 и 1, поэтому число равно 8 + 2 + 1 = 11₁₀. Так можно не просто прочитать запись, а проверить, какое значение за ней стоит.
Количество разрядов в памяти конечно, а каждый бит может принимать только два значения. Поэтому n битов дают 2ⁿ возможных комбинаций; для беззнакового целого это значения от 0 до 2ⁿ − 1. Например, три бита позволяют записать восемь комбинаций — от 000 до 111, то есть числа от 0 до 7. Для знаковых чисел часть комбинаций используют иначе, поэтому диапазон зависит от способа кодирования и типа данных.
Для вещественных чисел одного целочисленного счёта разрядов недостаточно: нужны и дробные части, и значения очень разного масштаба. Поэтому число делят на знак, порядок и значащую часть. Значащая часть хранит существенные цифры, а порядок показывает, на какую степень основания нужно умножить эту часть. Благодаря этому запись подходит и для очень малых, и для очень больших чисел, хотя точность ограничена количеством разрядов.
Десятичная дробь не обязательно заканчивается в двоичной системе. Например, 0,1₁₀ нельзя точно записать конечной последовательностью двоичных разрядов: её двоичная запись продолжается бесконечно. Компьютер не может хранить бесконечное число цифр, поэтому оставляет ограниченную часть записи и округляет её. Из-за этого результат вычисления может чуть отличаться от ожидаемого, особенно после нескольких операций.
| Характеристика | Целые числа | Вещественные числа |
|---|---|---|
| Какие части записи задают значение | Значения битов и их разрядные веса; способ кодирования зависит от типа. | Знак, порядок и значащая часть. |
| Как влияет число разрядов | Определяет количество доступных кодов и диапазон. | Влияет на диапазон и точность значащей части. |
| Диапазон представимых значений | Ограничен числом разрядов и способом кодирования. | Может включать очень большие и очень малые числа, но не все значения представимы точно. |
| Возможность округления | Целые значения в диапазоне обычно записываются точно. | Некоторые значения округляются из-за конечной длины записи. |
| Пример ситуации, где важно учитывать ограничение | Подсчёт, при котором значение может выйти за допустимый диапазон. | Вычисление с десятичными дробями, например с 0,1. |
Сравнивайте строки таблицы по одной: сначала выясните, какие части кодируют число, а затем — как конечное число разрядов влияет на результат. При решении задачи учитывайте тип данных: от него зависит и диапазон, и точность. Таблица показывает общие свойства, а конкретные пределы определяются форматом хранения.
Нужно представить 13 как сумму степеней двойки. Начинаем с наибольшей степени, которая не превосходит 13: это 8, или 2³. Остаток равен 5, поэтому дальше подбираем веса к нему, не забывая оставить ноль там, где соответствующий вес не используется.
Ответ: 13₁₀ = 1101₂. Проверка обратным переводом подтвердила, что двоичная запись соответствует исходному числу.
Условие говорит, что все четыре бита используются для числа, а знак отдельно не кодируется. В каждом разряде можно выбрать 0 или 1, поэтому нужно посчитать все возможные сочетания. После этого достаточно определить наименьшее и наибольшее значения в получившемся диапазоне.
Ответ: можно представить 16 значений — целые числа от 0 до 15 включительно. Если один из разрядов понадобился бы для знака, доступный диапазон был бы другим.
Десятичная запись 0,1 привычна человеку, но компьютер хранит число в двоичной форме. Проверим, может ли дробь завершиться в этой системе: для этого достаточно увидеть, как при переводе меняется остаток. Если он повторяется, двоичная дробь продолжается, и конечного точного кода не получится.
Ответ: значение 0,1 может храниться приближённо, поэтому вычисления с ним иногда дают небольшое отклонение. Это связано не с ошибкой записи программы, а с ограниченной точностью представления.
Читать двоичную запись как десятичное число из цифр 0 и 1 — значит забыть о весах разрядов. Так делают, потому что привычно воспринимают запись как обычный набор цифр. Проверьте себя, разложив число по степеням двойки: например, 101₂ — это 4 + 1, то есть 5, а не сто один.
Считать, что добавление разрядов меняет значение уже записанного числа, — неверно. Ошибка возникает из-за смешения значения числа и количества возможных кодов. Дополнительные нулевые разряды справа от целой двоичной записи сохраняют её значение, а большее число разрядов позволяет кодировать больше вариантов. Проверьте, сравнив значения до и после добавления ведущего нуля.
Ожидать точного хранения любой десятичной дроби — значит не учитывать, что компьютер часто представляет вещественные числа в двоичной системе. Некоторые дроби в ней бесконечны, поэтому конечная память вынуждает округлять запись. Если результат отличается совсем немного, проверьте, участвуют ли в вычислении дробные значения вроде 0,1. Небольшое отклонение может быть следствием точности формата.
Смешивать двоичную запись числа с его внутренним кодом — значит думать, что у каждого типа данных один и тот же способ хранения. На деле кодирование зависит от типа: например, целые и вещественные числа представляют по-разному, а отрицательные целые требуют отдельного правила. Уточните тип переменной и формат данных, прежде чем делать вывод о диапазоне или точности. Это поможет не применять правило для одного типа к другому.
Для этой темы нужно знать, что такое бит и байт, и понимать принцип позиционной записи чисел: положение цифры определяет её вклад в значение. Двоичное кодирование опирается на степени числа 2, которые показывают веса разрядов и число возможных комбинаций. Эти знания связывают хранение чисел с общей темой кодирования информации. Позже они помогут разбираться в типах данных и программах: ограничения разрядов объясняют выход за диапазон, а округление — некоторые неожиданные результаты вычислений.
Почему компьютер использует двоичную систему счисления?
Элементы памяти компьютера удобно создавать так, чтобы у них было два устойчивых состояния. Их можно различать как 0 и 1, поэтому двоичные данные надёжно хранить и обрабатывать. Другие системы счисления человек может использовать для удобства, но внутри компьютера информация кодируется битами.
Как перевести число из десятичной системы в двоичную?
Нужно представить число как сумму степеней двойки. Например, 13 = 8 + 4 + 1 = 2³ + 2² + 2⁰, поэтому в разрядах от 2³ до 2⁰ стоят цифры 1, 1, 0, 1. Получаем 13₁₀ = 1101₂.
Сколько значений можно закодировать заданным числом битов?
Каждый бит имеет два варианта: 0 или 1. Поэтому n битов образуют 2ⁿ разных комбинаций. Например, четыре бита позволяют закодировать 2⁴ = 16 значений.
Почему число 0,1 иногда хранится в компьютере неточно?
Вещественные числа часто хранятся в двоичном виде, а дробь 0,1 в этой системе имеет бесконечную запись. Память конечна, поэтому сохраняют только ограниченное количество её цифр. При вычислениях может проявиться небольшая ошибка округления.
Чем представление целых чисел отличается от представления вещественных?
Целое число кодируется набором битов, а его значение зависит от разрядов и принятого способа кодирования. Вещественное число обычно представляют отдельно знаком, порядком и значащей частью. Это позволяет хранить очень большие и очень малые числа, но некоторые значения получаются приближёнными.
Дополнение к главе 2
