"Информатика", Семёнов А.Л., Рудченко Т.А.
Площадь многоугольника показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её измеряют, сравнивая фигуру с квадратами одинакового размера: такой квадрат принимают за единицу площади. Площадь прямоугольника можно найти умножением длины на ширину, а площадь фигуры на клетчатой бумаге — подсчётом клеток и их частей. Сложный многоугольник удобно делить на простые фигуры, находить площадь каждой части и складывать результаты. Если часть вырезана, её площадь вычитают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Ломаная состоит из отрезков, которые соединяются концами и возвращаются к началу. Отрезки называют сторонами, а точки их соединения — вершинами: вместе они образуют границу фигуры, отделяющую её от остальной плоскости.
Площадь многоугольника — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Её можно представить как количество одинаковых квадратов, которыми удаётся покрыть фигуру. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры по занимаемому месту, даже если они имеют разную форму.
Единичный квадрат — квадрат, сторона которого принята за единицу длины. Его площадь служит образцом для измерения площади других фигур. Например, если сторона такого квадрата равна одному сантиметру, он задаёт единицу, которой удобно измерять небольшие поверхности.
Квадратная единица — единица измерения площади, например квадратный сантиметр или квадратный метр. Один квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см, а один квадратный метр — квадрата со стороной 1 м. Поэтому обозначение см² или м² напоминает: площадь измеряют квадратами, построенными на соответствующей единице длины.
Сравнивать площади удобнее с помощью одинаковых квадратов: так результат не зависит от формы или цвета самой фигуры. Если квадратами одного размера удалось покрыть одну фигуру большим количеством, её площадь больше. При сравнении важно использовать квадраты одинакового размера, иначе количество квадратов нельзя сравнивать напрямую.
Прямоугольник можно мысленно разделить на ряды одинаковых квадратов. Если в каждом ряду помещается одинаковое число клеток, остаётся посчитать клетки в одном ряду и число рядов. Умножение заменяет долгое сложение одинаковых рядов: площадь равна числу клеток в ряду, умноженному на число рядов.
На клетчатой бумаге сторона фигуры может идти по линиям сетки, поэтому внутри видны целые клетки и части клеток у границы. Целые клетки считают отдельно, а части складывают: например, две половины составляют одну клетку. Такой подсчёт даёт площадь в квадратных клетках, если сторона каждой клетки считается единицей длины.
Сложный многоугольник не всегда удобно считать целиком, зато его можно разделить на знакомые простые фигуры. Например, провести отрезки так, чтобы получились прямоугольники и треугольники, а затем найти площадь каждой части известным способом. Этот приём работает потому, что части вместе составляют исходную фигуру и не накладываются друг на друга.
Если части не перекрываются, площадь целой фигуры равна сумме площадей частей: каждая область учитывается ровно один раз. Когда внутри фигуры есть вырез, можно сначала рассмотреть фигуру целиком, а потом вычесть площадь удалённой части. Границы между частями площади не добавляют, потому что линия не занимает места на плоскости.
| Способ | Когда применять | Как действовать | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подсчёт клеток | Фигура нарисована на клетчатой бумаге | Посчитать целые клетки и сложить части клеток | Учтены ли части у границы и размер клетки |
| Формула площади прямоугольника | Фигура — прямоугольник, известны его стороны | Умножить длину на ширину | Одинаковые ли единицы длины у сторон |
| Разбиение на простые фигуры | Многоугольник можно поделить на знакомые фигуры | Найти площади частей и сложить их | Нет ли промежутков или перекрытий |
| Вычитание лишней части | Фигуру удобно представить как целую с вырезом | Из площади целой фигуры вычесть площадь выреза | Вычитается ли именно удалённая область |
Сначала выбери способ, который делает границы фигуры и размеры частей понятными. Затем запиши площади в одинаковых квадратных единицах и проверь, что ни одна область не пропущена и не посчитана дважды.
Задача 1. Прямоугольник на клетчатой бумаге занимает 4 клетки в длину и 3 клетки в ширину. Найдите его площадь в квадратных клетках. Здесь удобно не пересчитывать клетки по одной, а рассмотреть их рядами: в каждом ряду одинаковое число клеток.
Ответ: площадь равна 12 квадратным клеткам. Такой подсчёт совпадает с формулой площади прямоугольника: длина, умноженная на ширину.
Задача 2. Найдите площадь многоугольника на клетчатой бумаге, если внутри него расположены 8 целых клеток и 4 половины клетки. Сначала учитываем клетки, которые уже целиком лежат внутри, а затем объединяем части. Это помогает не потерять область у границы фигуры.
Ответ: площадь равна 10 квадратным клеткам. Проверка: две половины образуют одну целую клетку, значит, четыре половины должны дать ровно две.
Задача 3. Фигура составлена из прямоугольника размером 6 на 4 клетки и прямоугольника размером 2 на 3 клетки, пристроенного сбоку без перекрытия. Найдите площадь фигуры. Поскольку прямоугольники соприкасаются, но не перекрываются, площадь общей фигуры можно найти сложением.
Ответ: площадь фигуры равна 30 квадратным клеткам. При проверке убедись, что прямоугольники действительно пристроены без наложения: иначе часть площади оказалась бы посчитана дважды.
Не учитывать части клеток у границы. Если посчитать только целые клетки, площадь получится меньше настоящей: часть фигуры, попавшая в неполные клетки, тоже занимает место. Так ошибаются, потому что целые клетки заметнее и их проще считать. Проверь, можно ли соединить граничные части в целые клетки, например сложить две половины.
Складывать длины сторон вместо площадей. Длина измеряет отрезок, а площадь — часть плоскости, поэтому сумма сторон не показывает, сколько места занимает фигура. Ошибка возникает, когда все числа из условия складывают без проверки смысла. Проверь единицы ответа: площадь должна быть записана в квадратных единицах, например в квадратных клетках или см².
Считать общую границу дополнительной площадью. Линия, по которой фигуру разделили на части, не добавляет ей места. Её можно заметить на рисунке и ошибочно принять за ещё одну клетку или область. Проверь разбиение: учитывай только области внутри фигуры, а не линии между ними.
Складывать площади перекрывающихся частей. Общая область тогда входит сразу в площадь обеих частей и учитывается дважды. Это случается, когда части изображены одна поверх другой, а пересечение не замечают. Проверь, соприкасаются ли части только границами; если они перекрываются, перестрой разбиение или вычти площадь пересечения.
Для подсчёта площади на сетке нужно уметь считать клетки и выполнять умножение. Также важно отличать длину от площади: у этих величин разные единицы измерения. Эти навыки помогают не только решать задачи о многоугольниках, но и разбираться в других изображениях с сеткой.
Площадь пригодится при работе с планами и схемами, где нужно оценивать размеры участков или помещений. В информатике подсчёт клеток помогает оценивать, сколько места занимает графическое изображение на сетке. Умение делить фигуру на части позволяет выполнять такие оценки удобнее.
Чем площадь отличается от длины?
Длина показывает расстояние между двумя точками или размер стороны. Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Длину измеряют, например, в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Единица площади — это квадрат со стороной, равной единице длины. Такой квадрат покрывает часть плоскости, и можно посчитать, сколько таких частей помещается в фигуре. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см².
Как считать клетки, если граница проходит через клетку?
Целые клетки считают по одной, а части клеток складывают. Например, две половины клетки составляют одну целую клетку. Если части не складываются точно, их можно оценить или разделить фигуру на более простые части.
Можно ли найти площадь многоугольника, разбив его на части?
Да, фигуру можно разделить на прямоугольники, треугольники или другие фигуры, площадь которых умеем находить. Если части не перекрываются, их площади складывают. Нужно убедиться, что все части вместе составляют исходную фигуру.
Что делать, если части фигуры перекрываются?
Если сложить площади перекрывающихся частей, общую область учтём дважды. Найдите площадь пересечения и вычтите её один раз из суммы площадей частей. По возможности удобнее выбрать разбиение без перекрытий.
Площадь многоугольника
