"Информатика", Семёнов А.Л., Рудченко Т.А.
Утверждение о каждом элементе сообщает, что все элементы выбранного множества обладают одним свойством. Например, так можно спросить, все ли числа в наборе чётные или все ли слова состоят из трёх букв. Чтобы ответить верно, сначала нужно точно определить множество, а затем проверить каждый его элемент. Если хотя бы один элемент не подходит, он служит контрпримером и доказывает, что утверждение ложно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Утверждение о каждом элементе — фраза, которая говорит, что некоторое свойство выполняется для всех элементов заданного множества. Например, «каждое число в наборе больше нуля» относится ко всем числам набора, а не к одному выбранному. Это понятие помогает точно формулировать общие правила и проверять, верны ли они для всего набора объектов.
Истинное утверждение — утверждение о каждом элементе, которое верно для всех элементов рассматриваемого множества. Если речь идёт о числах 2, 4 и 6, фраза «каждое число чётное» истинна, потому что ни одно число не является исключением. Это определение нужно, чтобы отличать доказанное общее свойство от впечатления, которое возникло после проверки пары примеров.
Ложное утверждение — утверждение о каждом элементе, для которого найдётся хотя бы один элемент множества, не обладающий указанным свойством. Например, фраза «каждое число в наборе нечётное» будет ложной, если в наборе есть чётное число. Понятие помогает понять, почему для опровержения общего утверждения не требуется проверять все остальные элементы.
Контрпример — элемент множества, на котором проверяемое утверждение оказывается неверным. Если утверждается, что все числа набора нечётные, а в наборе есть число 8, то 8 — контрпример. Его полезно назвать явно: так сразу видно, какое именно условие не выполнилось.
Сначала нужно выяснить, о каком множестве идёт речь, потому что именно оно задаёт круг проверяемых объектов. Фраза «каждый элемент чётный» ничего не говорит о конкретной задаче, пока неизвестно, какие элементы входят в набор. Если состав множества изменить, ответ тоже может измениться: в наборе 2, 4 утверждение верно, а добавление числа 5 делает его ложным. Поэтому множество называют или перечисляют до проверки свойства.
Для конечного множества проверка устроена как последовательный просмотр всех элементов. Берём первый элемент и выясняем, обладает ли он указанным свойством, затем повторяем это для следующего и так далее. Такой порядок помогает не пропустить элемент и заметить, где именно свойство нарушается. Если набор небольшой, удобно отмечать результат проверки рядом с каждым элементом.
Чтобы подтвердить истинность утверждения, необходимо проверить все элементы, потому что фраза обещает свойство без исключений. Несколько подходящих элементов показывают лишь то, что свойство верно для них, но ничего не доказывают про остальные. Например, можно проверить три числа и не заметить четвёртое, которое не подходит. Полная проверка конечного множества даёт основание сделать общий вывод.
Опровергнуть утверждение можно одним контрпримером, потому что слово «каждый» означает «без исключений». Достаточно найти элемент, у которого названного свойства нет, и показать его. Например, если заявлено, что все числа нечётные, чётное число сразу опровергает это заявление. Продолжать поиск других контрпримеров для вывода уже не требуется.
После проверки вывод зависит от того, что удалось установить. Если свойство выполняется у каждого элемента множества, записывают, что утверждение истинно; если найден хотя бы один контрпример — что оно ложно. Когда проверена лишь часть множества, нельзя объявлять утверждение истинным: оставшиеся элементы ещё не проверены. Такой вывод показывает не только ответ, но и достаточность проверки.
Таблица помогает не пропустить ни множество, ни само свойство, ни итог проверки. Сверяйся с ней по строке: если каждый элемент подходит, утверждение истинно; если найден неподходящий — ложно. Строка о неполной проверке напоминает, что пока нельзя сделать вывод об истинности.
| Элементы множества | Проверяемое утверждение | Что проверить | Вывод |
|---|---|---|---|
| Все элементы множества | Каждый обладает указанным свойством | Свойство у каждого элемента | Утверждение истинно, если исключений нет |
| Есть элемент без свойства | Каждый обладает указанным свойством | Найти и назвать неподходящий элемент | Утверждение ложно: найден контрпример |
| Проверена только часть множества | Каждый обладает указанным свойством | Оставшиеся непроверенные элементы | Вывод об истинности пока делать нельзя |
Задача 1. Для множества чисел 2, 4, 6 проверить утверждение: каждый элемент чётный. Здесь множество уже задано, а свойство — быть чётным числом. Нужно проверить каждый элемент, а не ограничиться первым подходящим числом. После полной проверки можно будет сделать вывод о всей фразе.
Ответ: утверждение истинно для множества чисел 2, 4, 6. Вывод получен после проверки каждого элемента, поэтому ни одно число не осталось без внимания.
Задача 2. Для множества чисел 3, 5, 8 проверить утверждение: каждый элемент нечётный. Чтобы опровергнуть его, достаточно найти число, которое не является нечётным. Проверим элементы по порядку, пока не обнаружим такое число или не проверим весь набор.
Ответ: утверждение ложно, контрпример — число 8. Два подходящих числа не меняют вывода: в утверждении говорится о каждом элементе, а 8 этому условию не соответствует.
Задача 3. Для множества слов «кот», «дом», «мир» проверить утверждение: каждое слово состоит из трёх букв. Сначала ясно обозначим множество слов и свойство, которое проверяем: количество букв должно равняться трём. Нужно рассмотреть каждое слово, а затем сопоставить результаты с общей фразой.
Ответ: утверждение истинно для множества слов «кот», «дом», «мир». Такой вывод относится именно к названным словам; о других словах он ничего не утверждает.
Считать утверждение истинным после проверки нескольких элементов — ошибка, потому что среди оставшихся может быть неподходящий элемент. Часто первые примеры кажутся убедительными, и проверку прекращают слишком рано. Проверь себя: перечислены ли все элементы множества и есть ли для каждого отметка о свойстве? Пока остались непроверенные элементы, вывод об истинности делать нельзя.
Опровергать утверждение несколькими подходящими элементами — неверный ход: они не отменяют существование контрпримера. Такую ошибку допускают, когда считают, что большинство элементов важнее одного исключения. Для фразы «каждый» это не так: достаточно одного элемента без свойства. Проверь себя вопросом: найден ли хотя бы один контрпример? Если да, утверждение уже ложно.
Не указывать множество опасно, потому что без его состава нельзя определить, к каким объектам относится утверждение. Иногда кажется, что свойства достаточно, но с добавлением или удалением элементов ответ может измениться. Назови элементы или опиши множество точно, прежде чем оценивать фразу. Так ты убедишься, что проверяешь именно нужные объекты.
Путать утверждение о каждом элементе с утверждением о некоторых элементах — значит смешивать разные требования. Для «каждого» свойство должно быть у всех, а для «некоторых» достаточно хотя бы одного подходящего элемента. Путаница возникает из-за похожих слов, хотя способы проверки различны. Проверь формулировку: требуется проверить весь набор или найти в нём хотя бы один пример?
Для этой темы нужны понятие множества и умение перечислять его элементы: без этого нельзя определить, что именно проверять. Дальше такой способ рассуждения пригодится при проверке свойств объектов и поиске общих закономерностей. Он связан и с логикой — разделом, который учит различать истинные и ложные высказывания и обосновывать выводы. Проверка элементов помогает опираться на факты, а не на догадку.
Что значит утверждение о каждом элементе?
Это фраза о свойстве всех элементов выбранного множества. Например, «каждый элемент чётный» требует, чтобы чётным было каждое число из этого множества.
Почему нужно знать, к какому множеству относится утверждение?
Истинность фразы зависит от того, какие элементы входят в множество. Одно и то же свойство может выполняться для одного набора и не выполняться для другого.
Как проверить такое утверждение для конечного множества?
Нужно по очереди проверить свойство у каждого элемента конечного множества. Если оно верно для всех, утверждение истинно; если найден неподходящий элемент, оно ложно.
Что такое контрпример?
Контрпример — элемент множества, на котором утверждение оказывается неверным. Он не обладает указанным свойством и показывает, что фраза «каждый» неверна.
Сколько контрпримеров нужно, чтобы опровергнуть утверждение?
Достаточно одного контрпримера. Утверждение обещает свойство для каждого элемента, поэтому одного элемента, который ему не соответствует, достаточно для опровержения.
Утверждения о каждом элементе
