"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", Г.А. Заборовский, А.Е. Пупцев
Расчётная задача требует получить численный ответ из заданных величин. Чтобы решить её надёжно, сначала выделяют исходные и искомые данные, затем описывают связи формулами и составляют порядок действий. После этого вычисления можно перенести в электронную таблицу или другую компьютерную программу. Главное — не ограничиваться нажатием клавиш: нужно проверить единицы измерения, ход вычислений и смысл полученного результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расчётная задача — задача, в которой по известным исходным данным требуется получить численный результат с помощью вычислений. Например, можно по длине и ширине найти площадь комнаты. Это понятие помогает отличить задачу на вычисление от задачи, где нужно только объяснить явление или доказать утверждение. Чтобы ответ был полным, обычно указывают не только число, но и единицу измерения.
Математическая модель — описание объекта или процесса с помощью величин, зависимостей и формул. Для прямоугольника такой моделью будут формулы площади и периметра. Модель нужна, чтобы перейти от слов условия к точным правилам вычисления. Она оставляет только те свойства ситуации, которые важны для ответа.
Исходные данные — значения величин, заданные в условии и используемые для расчёта. В задаче о покупке это могут быть цена товара и число купленных единиц. Их нужно явно записать, чтобы не спутать с результатами промежуточных действий. Перед подстановкой следует проверить, в каких единицах выражено каждое значение.
Искомые данные — значения, которые необходимо определить в результате решения задачи. Если условие сообщает длину и ширину участка и спрашивает его площадь, площадь является искомой величиной. Такое обозначение помогает понять, какие именно вычисления требуется выполнить. Если вопросов несколько, каждому искомому значению нужно дать отдельное обозначение и найти его.
Решение начинают с анализа условия, потому что в тексте могут быть одновременно важные и лишние сведения, а вопрос не всегда повторяет формулировку исходных данных. Нужно выписать известные и неизвестные величины, заметить ограничения и единицы измерения. Так становится ясно, каких данных достаточно и какой именно ответ требуется. Если пропустить этот шаг, можно начать вычисления не с той величины или ответить только на часть вопроса.
Затем словесное описание превращают в математическую модель: находят, как величины связаны, и записывают подходящие формулы. Например, стоимость покупки зависит от цены и количества, а путь при равномерном движении — от скорости и времени. Формула делает связь явной и позволяет подставить числа вместо обозначений. Без модели отдельные числа остаются набором сведений, из которого нельзя надёжно получить ответ.
До вычислений выбирают последовательность действий и составляют алгоритм решения. Это нужно, когда для искомой величины сначала приходится найти промежуточную: например, сначала стоимость каждой покупки, а затем общую сумму. Записанный порядок помогает не забыть часть расчёта и показывает, какие значения понадобятся на следующих шагах. Кроме того, по алгоритму проще обнаружить место ошибки и повторить вычисления.
Для компьютерной реализации исходные данные размещают в ячейках выбранной программы, а зависимости записывают как формулы. Тогда модель становится рабочей: изменение исходного значения автоматически пересчитывает связанные результаты. Такой перенос полезен, когда вычислений много или нужно сравнить несколько вариантов. Однако программа не понимает смысл условия, поэтому формулы и ссылки на ячейки нужно задавать осознанно.
После вычислений результат проверяют, потому что даже аккуратный алгоритм может содержать ошибку в единицах, знаке действия или введённом значении. Сначала оценивают, соответствует ли ответ размерности искомой величины и попадает ли он в разумный диапазон. Затем сопоставляют его с условием: например, общая стоимость не должна быть меньше стоимости одного из купленных товаров. Такая проверка позволяет заметить ошибку до того, как результат будет принят за верный.
| Этап | Основные действия | Результат этапа |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, определить единицы измерения | Перечень исходных и искомых данных |
| Построение математической модели | Установить зависимости между величинами и записать формулы | Математическая модель задачи |
| Разработка алгоритма | Определить порядок вычислений и промежуточные результаты | Последовательность действий |
| Компьютерная реализация | Ввести данные и формулы в выбранную программу | Рабочая расчётная модель |
| Проверка результата | Проверить вычисления, размерность и правдоподобие ответа | Обоснованный итоговый результат |
Используйте таблицу как маршрут решения: переходите к следующему этапу, когда получили указанный результат предыдущего. Если ответ вызывает сомнение, вернитесь к модели или исходным данным, а не только повторите вычисление. Такой порядок подходит и для ручного расчёта, и для работы в программе.
Условие. Длина прямоугольника равна 8 м, ширина — 5 м. Найдём площадь и периметр. Здесь известны обе стороны, а значит, можно сразу применить формулы для прямоугольника. Запишем вычисления так, чтобы было видно, какое значение относится к каждой искомой величине.
Ответ: площадь равна 40 м², периметр — 26 м. Умножение сторон даёт площадь, а периметр — сумму длин всех сторон. Разные единицы у двух результатов подтверждают, что найдены разные величины.
Условие. Покупатель приобрёл 2 тетради по 3 рубля и 3 ручки по 4 рубля. Он дал 30 рублей. Определим общую стоимость и сдачу. Удобно отдельно вычислить стоимость каждой группы товаров, затем сложить результаты и сравнить их с уплаченной суммой.
Ответ: покупка стоит 18 рублей, сдача — 12 рублей. В электронной таблице цены и количества можно записать в отдельные столбцы, а стоимость строки найти умножением. Суммирование столбца стоимостей даст общий итог, который можно использовать для вычисления сдачи.
Условие. Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч, а затем 90 км со скоростью 45 км/ч. На каждые 100 км пути расходуется 8 л топлива. Найдём время движения и расход топлива на всём маршруте. Разделение на участки нужно, потому что расстояния и скорости различаются, а значит, различается и время прохождения каждого участка.
Ответ: время движения — 4 ч, расход топлива — 16,8 л. Время сначала находили отдельно для каждого участка, потому что скорости не одинаковы. Для топлива можно было посчитать расход по участкам и сложить его либо применить норму к общему расстоянию.
Первая ошибка — путать исходные данные с искомыми: например, принять заданную величину за то, что требуется найти, и получить неполный ответ. Так случается, когда вопрос задачи не выписывают отдельно. Проверьте себя: перечислите все данные условия и отдельно назовите каждую величину, о которой спрашивают. Сверьте итог с вопросом, чтобы ни один пункт не остался без ответа.
Вторая ошибка — подставлять в формулу величины с несогласованными единицами. Например, смешение метров и сантиметров изменяет численное значение в сто раз, хотя вычисления могут выглядеть аккуратно. Это часто происходит, когда единицы не записывают рядом с числами. Перед расчётом приведите значения к одной системе, а после проверьте единицу результата.
Третья ошибка — нарушить порядок действий или неверно связать ячейки с формулами. Компьютер всё равно выдаст число, поэтому ошибку в модели легко принять за правильный ответ. Причина обычно в спешке: формулу копируют без проверки адресов либо пропускают промежуточный шаг. Проверьте формулу на простом наборе данных и убедитесь, что каждая ссылка указывает на нужное значение.
Четвёртая ошибка — не оценить правдоподобие результата или слишком рано округлить промежуточные значения. При нескольких вычислениях небольшая погрешность может накапливаться, а неправдоподобный ответ останется незамеченным. Чтобы проверить себя, оцените порядок величины и сохраняйте точность до последнего шага. Округляйте только итог, если условие не требует другого.
Для решения расчётных задач нужны арифметические действия, знание единиц измерения и умение преобразовывать величины. Формулы связывают эту работу с математикой, а алгоритм задаёт ясный порядок вычислений. При переносе модели в электронную таблицу используются адреса ячеек, формулы и функции, в том числе суммирование. Этот навык применяют для моделирования физических, экономических и бытовых процессов, а также для обработки табличных данных.
Зачем составлять математическую модель, если формулу можно сразу ввести в компьютер?
Модель помогает понять, какие величины связаны и какую формулу нужно применять. Без неё легко ввести формулу не для той величины или пропустить часть условия. Компьютер выполняет заданные команды, но не проверяет, правильно ли поставлена задача.
Как понять, какие величины являются исходными, а какие искомыми?
Исходные величины прямо заданы в условии или могут быть получены из заданных данных. Искомые — те, о которых спрашивают в задаче. Например, если известны длина и ширина прямоугольника, они исходные, а площадь может быть искомой.
Почему нельзя подставлять в формулу числа с разными единицами измерения?
Формула предполагает, что величины выражены в согласованных единицах. Если смешать, например, метры и сантиметры, число получится неверным, иногда в десятки или сотни раз. Перед вычислением нужно перевести значения в одну систему единиц.
Как проверить, что компьютер вычислил правильный результат?
Сначала проверьте формулу, адреса ячеек и единицы измерения, затем оцените порядок и правдоподобие ответа. Полезно пересчитать результат другим способом или подставить данные в исходную зависимость. Компьютер точно выполняет команды, но ошибка в данных или формуле приводит к неверному ответу.
Когда расчётную задачу удобнее решать с помощью электронной таблицы?
Таблица удобна, если нужно выполнить много однотипных вычислений, сравнить варианты или пересчитать результат при изменении исходных данных. Достаточно изменить значение в ячейке, и связанные формулы обновятся. Для одного простого действия таблица может быть лишней.
18.1. Решение расчетных задач
