"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Расчётная задача требует по известным величинам найти одно или несколько значений. Чтобы решить её правильно, нужно понять условие, выделить исходные данные и искомый результат, а затем описать связи между величинами формулами. На основе этой математической модели составляют алгоритм: он получает данные, выполняет вычисления в нужном порядке и выводит ответ. Проверка на нескольких примерах помогает заметить ошибки в формулах, единицах измерения и действиях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расчётная задача — задача, в которой по заданным исходным данным требуется вычислить одно или несколько значений. Иными словами, нужно получить конкретный ответ, применив подходящие вычисления. Это понятие помогает отличить задачу на расчёт от задачи, где требуется, например, только объяснить явление.
Исходные данные — значения, известные до выполнения расчётов; нужно указать их смысл и способ получения. Например, в задаче о прямоугольнике такими данными могут быть его длина и ширина. Если обозначить их буквами и ясно указать единицы измерения, станет понятно, какие значения алгоритм должен получить на вход.
Результат — значение или набор значений, которые требуется получить и вывести после вычислений. Для одной задачи результатом может быть площадь, а для другой — сразу площадь и периметр. Ясное указание результата не позволяет забыть нужную величину или вывести вместо неё промежуточный расчёт.
Математическая модель — описание задачи с помощью величин и соотношений между ними, достаточное для нахождения результата. В неё входят обозначения величин и формулы, которые связывают известное с искомым. Модель нужна, чтобы обосновать вычисления до составления алгоритма и проверить, что для ответа хватает данных.
Сначала условие переводят на язык величин: выясняют, что дано, что требуется найти и какие данные могут меняться. Это необходимо потому, что обычный текст не всегда прямо показывает, какие значения следует подать алгоритму, а какие — вывести. Например, для разных прямоугольников длина и ширина могут меняться, но искомые величины остаются площадью и периметром. Полезно сразу записать обозначения и единицы измерения.
Затем строят математическую модель: выбирают обозначения величин, устанавливают связи между ними и записывают нужные формулы. Формулу нельзя выбирать только потому, что в ней встречаются похожие числа: она должна соответствовать смыслу условия. Для прямоугольника площадь связана с длиной и шириной произведением, а периметр — суммой длин его сторон. Запись этих зависимостей позволяет увидеть, каких данных не хватает и какие величины можно вычислить.
По модели определяют порядок вычислений: промежуточные значения находят раньше тех, которые от них зависят. Иначе алгоритм попытается использовать значение, которого ещё нет. Например, если для площади треугольника по формуле Герона нужен полупериметр, его рассчитывают до подстановки в формулу площади. Такой порядок можно представить как цепочку зависимостей от исходных данных к результату.
Алгоритм должен принимать исходные данные, выполнять расчёты по модели и выдавать результат в понятном виде. Поэтому в нём нужны не только арифметические действия, но и указание, какие значения вводятся и что именно сообщается в конце. Подписи и единицы измерения помогают человеку правильно понять ответ. Если алгоритм предназначен для разных входных данных, он должен работать не только для одного заранее выбранного набора чисел.
Решение проверяют на тестовых данных, в том числе на таких, для которых результат можно заранее вычислить вручную. Это помогает сравнить работу алгоритма с независимым расчётом и найти ошибку в формуле или порядке действий. Несколько наборов нужны потому, что одна и та же ошибка может случайно не проявиться на отдельных числах. Полезно также проверить, правдоподобен ли ответ и согласованы ли единицы.
| Этап | Что определить или выполнить | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Анализ условия | Разобрать текст, выделить известные величины и вопрос задачи. | Понимание задачи и её условий. |
| Исходные данные и требуемый результат | Записать, что поступает на вход и что нужно вывести. | Перечень входных и искомых величин с единицами измерения. |
| Построение математической модели | Выбрать обозначения и записать связи между величинами. | Формулы, достаточные для нахождения результата. |
| Составление алгоритма | Упорядочить действия и определить ввод, расчёты и вывод. | Пошаговый план вычислений. |
| Реализация и выполнение вычислений | Записать алгоритм на выбранном языке или выполнить расчёты. | Полученные значения в понятном виде. |
| Проверка результата | Сравнить решение с расчётами на тестовых данных. | Подтверждение правильности или обнаружение ошибки. |
Используйте таблицу как маршрут: переходите к следующему этапу, когда ясно, что получено на предыдущем. Если результат проверки неверен, вернитесь к модели и алгоритму, а не исправляйте ответ наугад. Такая последовательность помогает найти место ошибки.
Условие: по заданным длине a и ширине b прямоугольника найти площадь S и периметр P. Для примера возьмём a = 8 см и b = 3 см. Так можно проверить не только формулы, но и то, что обе искомые величины будут получены.
Ответ: площадь равна 24 см², периметр — 22 см. Единицы у величин разные: площадь измеряется в квадратных сантиметрах, а периметр — в сантиметрах.
Условие: по пройденному расстоянию s и времени движения t найти среднюю скорость v. Пусть велосипедист проехал 90 км за 2 ч. Формула связывает все три величины и показывает, почему время не следует складывать с расстоянием.
Ответ: средняя скорость равна 45 км/ч. Если расстояние дано, например, в метрах, а скорость нужна в километрах в час, сначала придётся согласовать единицы; иначе численное значение окажется неверным.
Условие: по сторонам треугольника a = 3 см, b = 4 см и c = 5 см определить площадь формулой Герона. Сначала нужно убедиться, что такие стороны вообще могут образовать треугольник. Затем вычисления выполняют последовательно, поскольку площадь зависит от полупериметра.
Ответ: площадь треугольника равна 6 см². Такой пример удобен для проверки: вычисления дают целое значение, которое можно сравнить с известной площадью прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 см.
Путают исходные данные с искомыми величинами: из-за этого алгоритм может не получить нужные значения или не вывести ответ. Так бывает, когда условие читают невнимательно и сразу переходят к вычислениям. Проверьте себя вопросами: что известно до расчёта и что должно появиться в конце? Для каждой величины укажите роль и обозначение.
Подставляют числа в формулу, не согласовав единицы измерения. Например, смешивают метры и километры или считают скорость по расстоянию в метрах и времени в часах, не учитывая, в каких единицах нужен ответ. Ошибка возникает, потому что числа выглядят готовыми к подстановке. Перед расчётом выпишите единицы всех величин и приведите их к совместимому виду.
Нарушают порядок вычислений и используют промежуточную величину до её нахождения. Обычно это случается, если алгоритм записывают сразу, не разобрав зависимости в формулах. Проверьте каждое действие: все ли значения, нужные для него, уже известны или рассчитаны? Если нет, сначала вычислите недостающее.
Считают один удачный пример достаточной проверкой. Но ошибка в формуле или алгоритме может не проявиться на конкретных числах, особенно если они дают случайно подходящий ответ. Это заблуждение возникает из-за того, что успешный единичный расчёт принимают за доказательство правильности. Испытайте решение на нескольких разных наборах данных, включая случаи с известным ответом, и сравните результаты.
Для решения расчётных задач нужно уметь внимательно читать условие, выполнять арифметические действия и преобразовывать простые формулы. Эти навыки помогают выделить данные и получить значение без ошибок. При составлении алгоритма используются знания об исполнителе, его командах и порядке их выполнения. Моделирование и проверка расчётов понадобятся при программировании задач с ветвлениями, циклами и обработкой наборов данных: сначала выбирают зависимости, затем задают действия и проверяют результат.
Чем исходные данные отличаются от результата?
Исходные данные известны до начала вычислений и поступают на вход алгоритма. Результат — то, что нужно получить и вывести после выполнения расчётов.
Зачем перед составлением алгоритма строить математическую модель?
Модель показывает, какие величины связаны и по каким формулам их находить. Благодаря ей алгоритм описывает решение задачи, а не просто выполняет набор случайных действий.
Как понять, в каком порядке выполнять вычисления?
Сначала находят величины, от которых зависят последующие результаты. Например, для вычисления площади по сторонам треугольника сначала нужен полупериметр.
Что делать, если в условии величины заданы в разных единицах?
Перед подстановкой в формулу нужно привести единицы к согласованному виду. Например, если расстояние задано в километрах, а время — в часах, скорость получится в километрах в час.
Как проверить, что решение расчётной задачи работает правильно?
Подставьте несколько наборов данных, для которых можно заранее проверить ответ вручную. Включите обычные и граничные случаи, а также проверьте единицы измерения и правдоподобность результата.
18.1. Решение расчетных задач
