12.2. Составные условия

Определения и обозначения

Составное условие — условие, образованное объединением двух или нескольких простых условий с помощью логических операций. Например, сравнения x > 0 и x < 10 можно соединить, чтобы проверить, находится ли число между 0 и 10. Такая запись нужна, когда алгоритму требуется учесть сразу несколько требований.

Логическое И — операция, при которой составное условие истинно только тогда, когда истинны все входящие в него условия. Запись x > 0 И x < 10 требует, чтобы число было одновременно больше нуля и меньше десяти. И используют, когда ни одно из требований нельзя пропустить.

Логическое ИЛИ — операция, при которой составное условие истинно, если истинно хотя бы одно из входящих условий. В выражении x < 0 ИЛИ x > 10 достаточно, чтобы выполнилось одно сравнение; могут выполниться и оба. Эта операция нужна, когда для выбора действия подходят разные варианты.

Логическое НЕ — операция, изменяющая значение условия на противоположное: истинное делает ложным, а ложное — истинным. Например, НЕ (x > 0) означает, что x не больше нуля. Отрицание помогает описать противоположное требование, не меняя сам способ проверки.

Как это устроено

Каждое простое сравнение даёт один из двух результатов: истину или ложь. Чтобы проверить несколько требований одним выражением, соединяют такие сравнения логической операцией. Например, запись x > 0 И x < 10 проверяет не каждое требование отдельно для выбора действия, а их общее выполнение. Поэтому составное условие подходит для алгоритма, которому нужно принять решение по нескольким признакам сразу.

У операции И результат зависит от каждой части, потому что слово «и» в условии означает одновременное выполнение требований. Если хотя бы одно сравнение ложно, всё выражение с И становится ложным. Например, для положительного чётного числа недостаточно быть только положительным или только чётным. А ИЛИ устроено иначе: оно допускает разные подходящие варианты, поэтому истинности хотя бы одного сравнения достаточно.

Значение выражения можно находить по таблице истинности — таблице всех возможных сочетаний значений простых условий и результата операции. Для двух условий A и B возможны четыре пары: оба истинны, первое истинно, второе ложно, и наоборот, либо оба ложны. В каждой строке применяют правило выбранной операции. Такой перебор помогает не гадать, а последовательно проверить результат даже у выражения из нескольких частей.

Скобки показывают, какие части выражения нужно объединить раньше, а значит, помогают сохранить задуманный смысл. В обычном порядке сначала выполняют НЕ, затем И, а после него ИЛИ. Например, A И B ИЛИ C без скобок означает (A И B) ИЛИ C. Если нужно, чтобы C объединялось с B до проверки через И, следует явно написать A И (B ИЛИ C).

В ветвлении алгоритм проверяет условие и выбирает действие в зависимости от результата: если условие истинно, выполняется одна ветвь, иначе — другая. Составное условие позволяет запускать действие только при сочетании требуемых признаков. Например, программа может проверить, что число положительное и чётное, прежде чем сообщить, что оно подходит. Благодаря таким проверкам не приходится создавать отдельное ветвление для каждого признака.

Логические операции в составных условиях

Сначала определите значения простых условий, а затем найдите строку с таким сочетанием в таблице истинности. Для НЕ достаточно посмотреть на значение одной части и заменить его противоположным. Если в выражении несколько операций, учитывайте их порядок и при необходимости расставьте скобки.

Разбор задач

Положительное чётное число

Нужно определить, является ли число x одновременно положительным и чётным. Положительность проверяет сравнение x > 0, а чётность — деление на 2 без остатка, которое записывают x mod 2 = 0. Поскольку должны выполниться оба требования, их соединяют операцией И.

1. Запишем первое простое условие: x > 0.
2. Запишем второе: x mod 2 = 0.
3. Объединим проверки: x > 0 И x mod 2 = 0.
4. Проверим обе части для заданного x: если обе истинны, составное условие истинно; если хотя бы одна ложна, оно ложно.

Ответ: число подходит, только если оно больше нуля и делится на 2 без остатка. Например, для x = 6 обе проверки истинны, а для x = −4 условие ложно из-за отрицательного значения.

Число за пределами промежутка

Теперь нужно выяснить, попадает ли x в один из промежутков x < 0 или x > 10. Здесь подходят два разных случая: число меньше нуля либо больше десяти. Значит, достаточно истинности одного сравнения, поэтому выбираем ИЛИ.

1. Проверим первое условие: x < 0.
2. Проверим второе условие: x > 10.
3. Запишем общее условие: x < 0 ИЛИ x > 10.
4. Если истинно хотя бы одно сравнение, число находится за указанными границами; если оба ложны, оно не подходит.

Ответ: условие истинно для чисел меньше нуля и для чисел больше десяти. Например, при x = −3 истинна первая часть, при x = 12 — вторая, а при x = 5 обе части ложны.

Скидка по нескольким правилам

Скидку дают, если покупатель школьник и сумма покупки не меньше 50 рублей, либо если у него есть специальный купон. Обозначим школьника через S, достаточную сумму через M, а наличие купона через C. Скобки нужны, чтобы показать: оба требования S и M составляют один путь к скидке, а купон является другим.

1. Объединим требования для школьника: S И M.
2. Добавим второй способ получить скидку: (S И M) ИЛИ C.
3. Проверим результат: скидка положена, если школьник выполнил условие о сумме или покупатель предъявил купон.

Ответ: запись условия — (S И M) ИЛИ C. Например, школьник с покупкой на 60 рублей получает скидку, а покупатель с купоном — тоже, даже если он не школьник.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать выражение с И истинным, когда истинна только одна часть. Так происходит, если И путают с ИЛИ и не проверяют требование одновременности. Для самопроверки спросите себя, должны ли выполниться все условия; если да, ложность любой части делает всё выражение ложным.

Вторая ошибка — использовать ИЛИ там, где должны выполняться оба требования. Иногда выбирают операцию по виду примера, не выясняя смысл слов «и» или «или» в задаче. Проверьте: достаточно ли одного подходящего случая или нужны оба признака сразу; во втором случае требуется И.

Третья ошибка — забыть НЕ или применить отрицание не к той части выражения. Это случается, когда границы отрицания неясны: НЕ A И B отличается от НЕ (A И B). Чтобы себя проверить, укажите, какое именно условие должно стать противоположным, поставьте скобки и отдельно измените его значение на противоположное.

Четвёртая ошибка — не учесть порядок операций и получить не тот результат. Обычно НЕ выполняется раньше И, а И — раньше ИЛИ; поэтому выражение без скобок может читаться не так, как задумано. Проверьте смысл каждой группы и добавьте скобки, если возможны разные прочтения.

Связь с другими темами

Для работы с составными условиями нужны простые условия, операции сравнения и понимание логических значений «истина» и «ложь». Также важно знать, как записывают ветвление: результат проверки помогает алгоритму выбрать действие. Составные условия расширяют такую проверку, позволяя учитывать сразу несколько ограничений.

Они пригодятся при составлении алгоритмов с несколькими требованиями, во вложенных ветвлениях и при проверке диапазонов. Если решение зависит от сочетания признаков, логические операции позволяют выразить его одной проверкой. Скобки помогают сохранить задуманную связь между частями даже в более сложных алгоритмах.

Что запомнить

• Составное условие состоит из простых условий, соединённых логическими операциями.
• Операция И даёт истину только при истинности всех частей.
• Операция ИЛИ даёт истину, если истинна хотя бы одна часть.
• Операция НЕ меняет значение условия на противоположное.
• Составные условия записывают со скобками, если нужно явно задать порядок действий.
• Логические операции позволяют формулировать условия выбора в алгоритмах.