15.2. Составные условия

Определения и обозначения

Составное условие — условие, образованное из простых условий с помощью логических операций. Простое условие, например x > 0, проверяет одно сравнение, а составное может объединить несколько таких проверок. Это нужно, когда для решения задачи недостаточно проверить только одно требование. Например, можно одновременно выяснить, положительно ли число и меньше ли оно десяти.

Логическое умножение — операция «и», которая истинна, только если истинны оба соединённых условия. Запись A и B означает, что проверяются сразу A и B. Она нужна, когда действие разрешено лишь при выполнении каждого требования. Если хотя бы одно из них не выполнено, всё составное условие ложно.

Логическое сложение — операция «или», истинная, если истинно хотя бы одно из соединённых условий. В записи A или B достаточно выполнения A, B либо обоих условий сразу. Операция нужна, когда для выбора действия подходит любой из нескольких вариантов. Например, можно проверить, является ли число меньше нуля или больше десяти.

Логическое отрицание — операция «не», меняющая значение условия на противоположное. Если исходное условие истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Отрицание помогает проверить, что некоторое требование не выполняется, например что число не положительно. Его можно применять как к простой проверке, так и ко всему составному условию.

Как это устроено

Простые условия сравнивают значения и дают один из двух результатов: истину или ложь. Например, сравнение x > 0 истинно для положительного x и ложно для нуля или отрицательного числа. Логические операции позволяют объединить результаты нескольких сравнений в одно условие, с которым может работать программа. Так программа учитывает сразу несколько свойств данных, а не только одно.

При соединении условий операцией «и» программа выполняет действие только тогда, когда выполнены все требования. Причина в том, что результат «и» становится истинным лишь при двух истинных частях. Если задача требует, чтобы число было больше нуля и одновременно меньше десяти, достаточно нарушить любую из границ, чтобы условие стало ложным. Поэтому «и» удобно использовать для проверки попадания внутрь промежутка.

При соединении операцией «или» достаточно выполнения хотя бы одного требования. Это позволяет описывать альтернативы: например, число находится левее промежутка или правее него. Если истинны оба условия, результат тоже истинен, поскольку требование «хотя бы одно» выполнено. В отличие от «и», операция «или» подходит для проверки двух разных способов, при которых должно произойти одно и то же действие.

Отрицание позволяет проверить, что некоторое условие не выполняется. Оно меняет результат целиком: например, если утверждение «x > 0» ложно, то «не (x > 0)» истинно. Это полезно, когда проще выразить запрет через отрицание исходной проверки. Отрицать можно и составное условие, поэтому важно следить, к какой именно части относится слово «не».

Порядок выполнения операций может менять результат, потому что разные объединения условий задают разные требования. Скобки показывают, какие части нужно сначала рассматривать вместе: например, (A и B) или C и A или (B и C) — не одно и то же выражение. Поэтому скобками уточняют смысл условия, если он неочевиден или требуется определённая группировка. Перед вычислением полезно сначала отметить части, заключённые в скобки.

Значения логических операций

Чтобы пользоваться таблицей, выбери строку, соответствующую значениям A и B. В этой строке прочитай результат операции «и» или «или», а результат «не A» найди в последнем столбце. Так можно проверить вычисления для любого сочетания истинных и ложных условий.

Разбор задач

Проверка попадания в промежуток

Условие. Записать условие, проверяющее, что число x больше 0 и меньше 10. Нужно проверить обе границы: число не должно быть ни нулём, ни больше десяти. Поскольку оба требования должны выполняться одновременно, понадобится операция «и».

1. Запишем первое простое условие: x > 0. Оно проверяет, что число больше нижней границы.
2. Запишем второе: x < 10. Оно проверяет, что число меньше верхней границы.
3. Объединим проверки операцией «и», так как нарушение любой границы означает, что число не подходит.

Ответ: x > 0 и x < 10. Например, для x = 4 обе части истинны, поэтому всё условие истинно; для x = 12 вторая часть ложна, и результат становится ложным.

Проверка выхода за промежуток

Условие. Записать условие, проверяющее, что число x находится вне промежутка от 0 до 10, то есть меньше 0 или больше 10. Здесь подходят два разных случая: число расположено левее промежутка либо правее него. Достаточно любого из них, поэтому используется «или».

1. Для числа левее границы запишем x < 0.
2. Для числа правее границы запишем x > 10.
3. Объединим проверки операцией «или»: одновременно быть меньше 0 и больше 10 число не может, но одного подходящего случая достаточно.

Ответ: x < 0 или x > 10. Например, при x = −2 истинна первая часть, а при x = 12 — вторая; в обоих случаях всё условие истинно.

Вычисление составного условия

Условие. Определить, истинно ли выражение (a > 0 и b > 0) или c = 0, если a = 2, b = −1 и c = 0. Скобки показывают, что сначала проверяется совместное выполнение первых двух сравнений. После этого полученный результат объединяется с проверкой c = 0 с помощью «или».

1. Подставим значения в первые сравнения: a > 0 истинно, так как 2 > 0; b > 0 ложно, так как −1 не больше нуля.
2. Вычислим выражение в скобках: истинно и ложно даёт ложь при операции «и».
3. Проверим c = 0: при c = 0 это условие истинно. Объединим результаты: ложь или истина даёт истину.

Ответ: выражение истинно. Его вторая часть выполняется, поэтому операция «или» даёт истину, несмотря на ложное значение выражения в скобках.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать «и» вместо «или», когда проверяется выход за границы промежутка. Так делают, потому что оба сравнения выглядят важными, но число не может одновременно быть меньше 0 и больше 10. Проверь себя на x = −2: нужное условие должно сработать, а выражение x < 0 и x > 10 даст ложь.

Ошибка: считать, что для «или» должны быть истинны оба условия. Это путают с операцией «и», потому что обе операции соединяют проверки. Проверь таблицу или подставь пример, где истинна только одна часть: для «или» итог должен быть истинным.

Ошибка: отрицать составное условие так, будто «не» меняет только одну его часть. Причина — слово «не» легко мысленно отнести к ближайшему сравнению, хотя оно может относиться ко всему выражению в скобках. Чтобы проверить себя, сначала вычисли условие целиком, а затем поменяй полученный результат на противоположный.

Ошибка: не поставить скобки, когда они нужны для заданного порядка вычислений. Без них части условия могут объединиться иначе, чем задумывалось, и результат изменится. Проверь себя, перечитав выражение по смыслу: если нужно сначала вычислить отдельную часть, заключи её в скобки и сравни результат с требованием задачи.

Связь с другими темами

Для составления составных условий нужно уметь записывать простые условия с операциями сравнения и понимать значения «истина» и «ложь». Без этого нельзя определить, какой результат дадут логические операции. Составные условия применяются в ветвлениях и циклах: в ветвлении они помогают выбрать действие, а в цикле — проверить, следует ли продолжать повторение. В обоих случаях решение программы может зависеть сразу от нескольких требований.

Что запомнить

• Составное условие объединяет несколько простых условий.
• «A и B» истинно, только когда истинны A и B.
• «A или B» истинно, когда истинно хотя бы одно из условий.
• «Не A» имеет значение, противоположное значению A.
• Скобки помогают явно задать порядок вычисления условия.