"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В.М. Котов, А.И. Лапо, Е.Н. Войтехович
Арифметическое выражение — это запись, по которой выполняют действия с числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Скобки и правила приоритета подсказывают, какое действие делать первым, поэтому один и тот же набор чисел может давать разные результаты. Главное — правильно определить порядок операций, выполнить их по шагам и получить значение выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических операций и скобок, которая задаёт вычисления. Например, 8 + 3 · 2 и (8 + 3) · 2 являются выражениями. По такой записи можно понять, какие числа и действия нужно использовать.
Значение арифметического выражения — число, полученное после выполнения всех операций выражения. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала находят произведение. Этот термин нужен, чтобы отличать саму запись от результата вычислений.
Порядок выполнения операций — последовательность, в которой выполняют действия при вычислении выражения. Он помогает не перепутать шаги и получить единственный правильный результат. Если порядок не соблюдать, ответ может оказаться неверным.
Приоритет операции — правило, определяющее, какие действия выполняют раньше при отсутствии скобок. Умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Благодаря этому длинное выражение можно вычислять по понятному общему правилу.
Выражение составляют из чисел и знаков действий: +, −, ·, :. Скобки добавляют тогда, когда нужно объединить часть записи и явно указать действие, которое должно быть выполнено первым. Поэтому выражение не просто перечисляет числа, а задаёт последовательность получения результата.
Скобки позволяют изменить обычный порядок действий. В записи 7 + 5 · 2 сначала выполняют умножение, а в записи (7 + 5) · 2 сначала складывают числа внутри скобок. Если скобок несколько и они вложены, начинают с самой внутренней пары: её результат подставляют в окружающее выражение.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что они образуют отдельные произведения и частные, из которых затем складывают или вычитают. Так выражение 10 + 6 : 2 понимают как 10 + (6 : 2), а не как (10 + 6) : 2. Если требуется другой порядок, его задают скобками.
Операции одной группы имеют одинаковый приоритет. Поэтому нельзя считать, что умножение всегда выполняется раньше деления или сложение всегда раньше вычитания. Если рядом стоят действия одинакового приоритета, их выполняют слева направо: в 24 : 6 · 4 сначала делят 24 на 6, затем результат умножают на 4.
Чтобы найти значение выражения, удобно каждый раз заменять выполненное действие его результатом. Например, запись 7 + 5 · 2 превращается сначала в 7 + 10, а затем в 17. Такая последовательная запись сохраняет промежуточные результаты и позволяет проверить каждый шаг.
Таблица показывает, какое действие выбирать первым. Сначала ищите скобки, затем операции умножения и деления, а после них сложение и вычитание. Если в одной группе несколько действий, просматривайте выражение слева направо.
| Операция или правило | Обозначение | Когда выполнять | Пример |
|---|---|---|---|
| Действия в скобках | ( ) | До действий вне скобок; во вложенных скобках — начиная с внутренних | (2 + 3) · 4 |
| Умножение и деление | ·, : | После действий в скобках, до сложения и вычитания | 12 : 3 · 2 |
| Сложение и вычитание | +, − | После умножения и деления | 8 − 3 + 1 |
| Операции одинакового приоритета | — | Выполнять слева направо | 18 : 3 · 2 |
Скобок в выражении нет, поэтому нужно сравнить приоритеты операций. Умножение выполняется раньше сложения. Значит, сначала найдём произведение 5 и 2, а затем прибавим результат к 7.
Ответ: 17. Если начать со сложения, получится другое число, но такой порядок нарушит приоритет операций.
Теперь скобки требуют сначала выполнить сложение. Только после этого можно умножать полученную сумму на 2. Сравнение с предыдущим примером показывает, что скобки изменили порядок действий и поэтому изменили результат.
Ответ: 24. Без скобок умножение выполнялось бы первым, а со скобками первой стала сумма.
Сначала нужно обработать скобки, потому что они имеют наивысший приоритет. Затем останутся деление и умножение, стоящие в одном ряду, поэтому их выполняем слева направо. Вычитание выполняем последним, когда частное и произведение уже найдены.
Ответ: 14. Запись промежуточных вариантов помогает увидеть, что скобки уже вычислены, а действия одинакового приоритета выполнены в нужной последовательности.
Действия выполняют строго слева направо. Так часто делают, потому что читают выражение как обычную строку, но умножение или деление при этом могут оказаться слишком поздно. Проверьте себя: сначала выделите скобки, затем умножение и деление.
Одной операции приписывают больший приоритет. Ученик может считать, что умножение всегда раньше деления или сложение раньше вычитания. На самом деле в каждой такой паре приоритет одинаков, поэтому действия выполняют слева направо.
Пропускают скобки или начинают не с внутренних. Это происходит, когда взгляд сразу переходит к действиям вне скобок. Найдите все пары скобок и сначала вычислите самую внутреннюю из них.
Ошибаются в промежуточной записи. При переписывании легко потерять знак операции или заменить не то число, особенно в длинном выражении. Сверяйте каждую новую строку с предыдущей и проверяйте, что изменилось только выполненное действие.
Для вычисления выражений нужны навыки арифметических действий с числами, понимание скобок и знание порядка операций. Без этих правил трудно определить, какой результат считать правильным.
Умение вычислять выражения пригодится при работе с формулами и составлении программ. В программе также задают действия над числами, а скобки и приоритет операций помогают получить именно нужный результат.
Почему в выражении без скобок умножение выполняют раньше сложения?
Умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение. Поэтому в выражении 7 + 5 · 2 сначала находят произведение 5 · 2, а затем прибавляют его к 7.
В каком порядке вычислять выражение, если в нём несколько пар скобок?
Сначала выполняют действия во внутренних скобках, затем переходят к скобкам, которые их окружают. После раскрытия всех скобок выполняют остальные операции по их приоритету.
Что делать, если рядом стоят деление и умножение?
Деление и умножение имеют одинаковый приоритет. Их выполняют последовательно слева направо, например: 18 : 3 · 2 = 6 · 2 = 12.
Как определить, какие действия имеют одинаковый приоритет?
Умножение и деление относятся к одной группе, а сложение и вычитание — к другой. Внутри каждой группы действия выполняют слева направо.
Зачем записывать промежуточные результаты при вычислении?
Промежуточные записи показывают, какое действие уже выполнено и что осталось сделать. Так легче не потерять знак операции, заметить ошибку и проверить решение.
15.1. Вычисление значения арифметического выражения
