16.2. Использование целочисленных данных для решения задач

Определения и обозначения

Целочисленные данные — данные, которые принимают целые значения без дробной части. Например, 7 книг, номер 12 или 45 секунд можно представить целыми числами. Они нужны, когда части объекта считать не требуется.

Целочисленный тип данных — тип данных для хранения положительных и отрицательных целых чисел и нуля. Переменная такого типа может хранить, например, значение −3 или 250. Выбор типа помогает программе правильно хранить данные и выполнять действия над ними.

Целочисленное деление — деление, при котором сохраняется только целая часть частного. Например, 19 div 4 = 4, потому что четыре полных четвёрки помещаются в 19. Такая операция нужна, когда считают полные группы или единицы.

Остаток от деления — число, которое остаётся после целочисленного деления одного целого числа на другое. Например, 19 mod 4 = 3: после четырёх групп по 4 остаются 3. Остаток помогает находить последнюю цифру и незаполненную часть группы.

Как это устроено

Задачи со счётом предметов, номерами и цифрами удобно решать с помощью целых чисел, потому что предмет нельзя разделить на часть в результате подсчёта, а номер не бывает дробным. Единицы времени в некоторых задачах тоже считают целыми: например, полные часы, минуты и секунды. Такой выбор данных соответствует смыслу величин и не создаёт ненужных дробей.

Значение целочисленного типа записывают непосредственно или получают при вводе. Затем его сохраняют в переменной, например n, и используют в выражениях: s = a + b или k = n div 10. Переменная хранит текущее значение, поэтому результат вычисления можно применить на следующем шаге.

Арифметические операции выполняются над значениями переменных и числовыми константами. Сложение, вычитание и умножение обычно дают обычный целый результат, если оба исходных значения целые. При составлении выражения нужно учитывать скобки и порядок действий, иначе программа может получить не тот результат.

Обычное деление показывает точное частное и может содержать дробную часть: 7 / 2 = 3,5. Целочисленное деление div отвечает на другой вопрос: сколько полных двоек помещается в семи, поэтому 7 div 2 = 3. Дробная часть здесь не записывается, потому что она не образует ещё одну полную группу.

Операция mod связана с тем же делением, но возвращает не число полных групп, а остаток после них. У числа 538 выражение 538 mod 10 даёт 8, то есть последнюю цифру. Если сначала убрать последнюю цифру операцией div 10, а затем повторить действия, можно получить все цифры справа налево.

Операции над целочисленными данными

Сначала определите, что требуется получить: полные группы или оставшуюся часть. Для полных групп выбирайте div, а для остатка — mod. При изменении переменной новое значение вычисляется справа от знака присваивания и затем сохраняется в этой переменной.

Разбор задач

Задача 1. Для данного натурального числа n нужно найти количество десятков и число единиц. Количество десятков показывает, сколько полных групп по 10 содержится в числе. Число единиц является остатком после отделения этих групп.

1. Обозначим количество десятков выражением n div 10.
2. Обозначим число единиц выражением n mod 10.
3. Для n = 47 получаем 47 div 10 = 4 и 47 mod 10 = 7.

Ответ: в числе 47 четыре десятка и семь единиц. Такой способ работает для любого натурального числа.

Задача 2. Дано трёхзначное число 384. Нужно найти сумму его цифр и записать число в обратном порядке. Цифры удобнее выделять справа налево, потому что mod 10 сразу находит последнюю цифру.

1. Единицы: 384 mod 10 = 4.
2. Десятки: (384 div 10) mod 10 = 8.
3. Сотни: 384 div 100 = 3.
4. Сумма цифр: 3 + 8 + 4 = 15; обратное число: 4 × 100 + 8 × 10 + 3 = 483.

Ответ: сумма цифр равна 15, число в обратном порядке — 483. При записи справа налево найденные цифры нужно поставить в разряды сотен, десятков и единиц.

Задача 3. С начала суток прошло 7384 секунды. Требуется определить количество полных часов, минут и секунд. Сначала отделим часы, а остаток секунд разберём на минуты и секунды.

1. Часы: 7384 div 3600 = 2.
2. После удаления часов осталось 7384 mod 3600 = 184 секунды.
3. Минуты: 184 div 60 = 3.
4. Секунды: 184 mod 60 = 4.

Ответ: прошло 2 часа 3 минуты 4 секунды. Остатки нужны потому, что после выделения полных часов нельзя снова использовать всё исходное количество секунд.

Типичные ошибки

Обычное деление вместо div. Ученик получает дробь, хотя требуется число полных групп. Проверьте, должна ли величина быть целой, и для такой величины используйте div.

Путаница между div и mod. Обе операции связаны с делением, поэтому их легко перепутать. Спросите себя: нужны полные группы или то, что осталось после них?

Неверный порядок выделения цифр. Цифры получают с учётом разрядов и основания 10: сначала единицы, затем десятки и сотни либо сразу используют нужные степени десяти. Полезно проверить результат обратной сборкой числа.

Дробь записывают в целочисленную переменную. Это делают, забывая проверить тип результата; дробная часть может потеряться или возникнет ошибка типов. Уточните, какая операция выполняется и соответствует ли её результат типу переменной.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны переменные, типы данных, ввод и вывод, арифметические выражения и порядок действий. Позже div и mod пригодятся в условных операторах и циклах для проверки делимости, обработки цифр и повторения вычислений. Эти операции применяются в задачах на время, деньги, нумерацию, разложение числа на цифры и подсчёт объектов.

Что запомнить

• Целочисленные данные не содержат дробной части.
• Операция div возвращает целую часть частного.
• Операция mod возвращает остаток от деления.
• Последнюю цифру числа можно найти с помощью операции mod 10.
• Целую часть числа десятков можно найти с помощью операции div 10.
• При решении задачи сначала определяют, что означает каждая переменная, а затем выбирают нужные операции.
• Для корректного результата необходимо учитывать тип данных и порядок выполнения действий.