§ 3. Логика высказываний

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» сообщает факт, который можно проверить. Понятие высказывания помогает отделить утверждения, с которыми работает логика, от вопросов и просьб.

Истинностное значение — одно из двух значений высказывания: истина или ложь; их обозначают И и Л. Если утверждение соответствует действительности, его значение — И, если не соответствует — Л. Эти обозначения позволяют короче записывать и сравнивать логические выражения.

Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Отрицание фразы «День солнечный» — «День не солнечный». Оно нужно, чтобы выразить противоположное истинностное значение исходного утверждения.

Конъюнкция и дизъюнкция — логические операции «И» и «ИЛИ». Конъюнкция истинна, когда истинны оба высказывания, а дизъюнкция — когда истинно хотя бы одно. С помощью этих операций несколько простых утверждений объединяют в одно сложное.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли предложение высказыванием, сначала выясни, что именно оно сообщает. Вопрос просит дать ответ, а команда побуждает что-то сделать, поэтому ни у того, ни у другого нет значения И или Л. У повествовательной фразы тоже может не быть однозначного значения, если неизвестно, о ком, где или когда говорится. Например, «Он высокий» нельзя проверить, пока не ясно, кто такой «он» и с чем сравнивают его рост.

Простое высказывание выражает одну мысль, которую можно оценить отдельно: например, «7 — простое число». Сложное высказывание включает несколько таких мыслей, соединённых связками «не», «и» или «или». Это удобно, потому что вместо длинного условия можно рассматривать части по отдельности, а затем применить правила операции. Обозначая высказывания буквами p и q, легче составлять таблицы и проверять сочетания их значений.

Отрицание строят так, чтобы оно сообщало, что исходное утверждение неверно. Поэтому оно не может иметь то же значение, что исходная фраза: если p истинно, то «не p» ложно; если p ложно, то «не p» истинно. Например, утверждение «Число 8 чётное» истинно, а отрицание «Число 8 не является чётным» ложно. Это правило помогает проверить, правильно ли сформулировано отрицание.

Конъюнкция соединяет мысли связкой «И» и утверждает, что выполняются обе сразу. Если истинны и p, и q, выражение p И q истинно. Но если хотя бы одна часть ложна, утверждение о выполнении обеих частей уже неверно, поэтому конъюнкция ложна. Например, условие «число делится на 2 И на 3» выполняется только для числа, которое делится и на 2, и на 3.

Дизъюнкция соединяет высказывания связкой «ИЛИ» и утверждает, что верно хотя бы одно из них. Если истинно только p или только q, дизъюнкция истинна; если истинны оба, она тоже истинна. Ложной она становится лишь тогда, когда ложны обе части. В обычной речи «или» иногда означает выбор только одного варианта, но в логике такого ограничения у дизъюнкции нет.

Истинностные значения логических операций

Каждая строка показывает один возможный набор значений p и q, а столбцы справа — результат операций для этого набора. Найди строку с нужными значениями исходных высказываний, затем прочитай результат в соответствующем столбце. Таблица помогает не пропустить ни один вариант и проверять сложные выражения по частям.

Разбор задач

Является ли предложение высказыванием?

Условие. Определить, является ли предложение «Закройте окно!» высказыванием и можно ли приписать ему истинностное значение. Для проверки нужно выяснить, сообщает ли оно факт, который бывает истинным или ложным. Важно не путать форму предложения с тем, можно ли проверить его содержание.

1. Замечаем, что предложение побуждает человека закрыть окно. Оно не сообщает, закрыто окно или нет, а требует выполнить действие.
2. Проверяем, можно ли назвать приказ истинным или ложным. К нему нельзя применить такую оценку: он может быть выполнен или не выполнен.
3. Сравниваем результат с определением высказывания. Поскольку предложение не утверждает проверяемый факт, истинностного значения у него нет.

Ответ. «Закройте окно!» не является высказыванием, и приписать ему И или Л нельзя. Если бы было сказано «Окно закрыто», это уже было бы утверждение, истинность которого можно проверить. Значение такого утверждения зависело бы от того, закрыто ли окно на самом деле.

Отрицание высказывания

Условие. Для высказывания «Число 8 чётное» записать отрицание и определить истинность обоих высказываний. Чтобы решить задачу, сначала оцениваем исходный факт, а затем меняем его истинностное значение на противоположное. Так мы не пытаемся угадывать ответ только по тому, как звучит фраза.

1. Проверяем исходное утверждение: число 8 делится на 2 без остатка. Значит, высказывание «Число 8 чётное» истинно, его значение — И.
2. Строим отрицание: «Число 8 не является чётным». Оно утверждает, что исходная фраза неверна.
3. Меняем значение на противоположное. Раз исходное высказывание истинно, отрицание ложно и имеет значение Л.

Ответ. Отрицание — «Число 8 не является чётным»; исходное высказывание истинно, отрицание ложно. Проверка проста: число 8 делится на 2, поэтому утверждение о его нечётности неверно. Значения И и Л у этих двух высказываний противоположны.

Конъюнкция и дизъюнкция

Условие. Пусть p — «12 делится на 3», а q — «12 делится на 5». Требуется определить истинность выражений p И q и p ИЛИ q. Сначала оцениваем каждую простую фразу, иначе нельзя правильно применить правила операций.

1. Проверяем p: 12 делится на 3 без остатка, следовательно, p истинно и имеет значение И. Проверяем q: 12 на 5 без остатка не делится, поэтому q ложно и имеет значение Л.
2. Рассматриваем p И q. Конъюнкция требует, чтобы оба высказывания были истинными, но q ложно, значит, всё выражение ложно.
3. Рассматриваем p ИЛИ q. Для дизъюнкции достаточно хотя бы одного истинного высказывания, а p истинно, значит, всё выражение истинно.

Ответ. p И q = Л, а p ИЛИ q = И. Удобно сверить результат с таблицей: для сочетания p = И и q = Л конъюнкция ложна, а дизъюнкция истинна. Так можно проверить, не перепутаны ли условия операций.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вопрос или приказ высказыванием. Такое происходит, потому что предложение кажется законченным, но его форма ещё не означает, что оно сообщает факт. Проверь себя вопросом: можно ли без дополнительных условий оценить фразу как истинную или ложную? Если она спрашивает или побуждает к действию, это не высказывание.

Вторая ошибка — принять отрицание за любое утверждение противоположного смысла. Отрицание должно быть ложным ровно тогда, когда исходное высказывание истинно, и наоборот. Чтобы проверить себя, сначала установи значение исходной фразы, а затем поменяй И на Л или Л на И. Если значения совпали, отрицание составлено или оценено неверно.

Третья ошибка — считать конъюнкцию истинной, когда истинна только одна часть. Так бывает, если забыть, что «И» требует выполнения обоих условий. Проверь значение каждого высказывания отдельно: если хотя бы одно имеет значение Л, вся конъюнкция ложна. Например, «делится на 2 И на 3» не подходит числу, которое делится только на 2.

Четвёртая ошибка — понимать логическое «ИЛИ» как выбор только одного варианта. В обычной речи такое значение встречается, поэтому легко перенести его в логику. Но дизъюнкция истинна, когда истинно одно высказывание или оба сразу. Проверь себя по таблице: ложной она бывает только в строке, где оба значения — Л.

Связь с другими темами

Для изучения логики полезно уметь различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Ещё нужно понимать, что истинность и ложность относятся к проверяемым утверждениям, а не к приказам или вопросам. Эти знания помогают правильно выбирать фразы для логических рассуждений.

В алгоритмах и программах логические операции используют при записи условий: например, действие может выполняться, если соблюдены сразу два требования или хотя бы одно из них. Таблицы истинности позволяют проверить все сочетания значений условий. На их основе в дальнейшем изучают логические выражения и способы их упрощения.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, которое может быть истинным или ложным.
• Вопросы и команды не являются высказываниями.
• Отрицание меняет истинностное значение на противоположное.
• Конъюнкция истинна, только если истинны оба высказывания.
• Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно высказывание.
• Для проверки сложных высказываний удобно составлять таблицу истинности.