3.1. Понятие высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Оно сообщает какое-либо утверждение, а не просто выражает эмоцию или обращается к собеседнику. Это понятие нужно, чтобы отделять проверяемые сообщения от вопросов и команд.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности. Например, сообщение «Минск — столица Беларуси» совпадает с известным фактом. Такое определение помогает понять, почему утверждение получает значение «истина».

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности. Предложение «9 — чётное число» является ложным, хотя построено как обычное утверждение. Ложность не лишает предложение статуса высказывания: её можно установить проверкой.

Значение истинности — характеристика высказывания: «истина» или «ложь». Для каждого высказывания выбирается только одно из этих значений. Благодаря этому высказывания можно использовать в логических рассуждениях и алгоритмах.

Как это устроено

Высказывание выражено повествовательным предложением, потому что его задача — сообщить о предмете, действии или свойстве. Вопрос требует ответа, а побуждение призывает что-то сделать, поэтому они не утверждают факт. Если предложение ничего не сообщает для проверки, значения «истина» или «ложь» к нему неприменимы.

Чтобы определить, является ли предложение высказыванием, сначала нужно выяснить, можно ли однозначно установить его истинность или ложность. Для этого мысленно сравнивают содержание предложения с фактами, правилами или результатом вычисления. Если проверка в принципе возможна, перед нами высказывание, даже если сейчас ответ ещё неизвестен.

У высказывания есть одно из двух значений истинности: «истина» или «ложь». Третьего значения в такой оценке не используют, потому что утверждение либо соответствует действительности, либо нет. Например, после проверки равенства можно точно определить, верно оно или ошибочно.

Истинность устанавливают по содержанию высказывания, а не по тому, насколько уверенно оно произнесено. Математическое утверждение проверяют вычислением или известным правилом, а сообщение о событии — сопоставлением с фактом. Такой способ проверки защищает от ошибок, когда правдоподобная фраза кажется верной без доказательств.

Вопросы, просьбы и команды не являются высказываниями, поскольку не оцениваются как истинные или ложные. На вопрос «Который час?» можно ответить, но сам вопрос не бывает истинным или ложным. Команда «Откройте учебник» тоже побуждает к действию, а не сообщает проверяемый факт.

Предложения и их значение истинности

В таблице сначала определите, сообщает ли предложение факт, а затем проверьте его содержание. Если это сообщение, выберите значение «истина» или «ложь»; для вопроса и команды значение не указывается. Столбец «Почему» помогает увидеть, какой признак привёл к ответу.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие предложения являются высказываниями: «Земля вращается вокруг Солнца», «Как тебя зовут?», «Закрой окно». Нужно не отвечать на вопрос и не выполнять команду, а установить тип каждого предложения. Затем проверяем, можно ли оценить его содержание как истинное или ложное.

1. «Земля вращается вокруг Солнца» сообщает факт, поэтому является высказыванием.
2. «Как тебя зовут?» задаёт вопрос, поэтому высказыванием не является.
3. «Закрой окно» побуждает к действию, поэтому также не является высказыванием.

Ответ: высказывание только первое предложение. Его значение истинности — истина.

Задача 2

Установите, истинны или ложны высказывания: «12 делится на 3», «15 меньше 10», «У квадрата четыре стороны». Для каждого утверждения найдём факт или правило, с которым его нужно сравнить. Одновременно проверим, что все три предложения являются повествовательными.

1. 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4, значит, это истина.
2. 15 меньше 10 — неверное сравнение, значит, это ложь.
3. У квадрата четыре стороны — верное свойство фигуры, значит, это истина.

Ответ: первое и третье высказывания истинны, второе ложно. Все три предложения являются высказываниями.

Задача 3

Составьте два высказывания о числах 8 и 11: одно истинное, другое ложное. Предложения должны сообщать утверждения, а не задавать вопросы или давать команды. После составления сравним каждое утверждение с математическими фактами.

1. Истинное высказывание: «8 меньше 11», потому что 8 действительно стоит левее 11 на числовой прямой.
2. Ложное высказывание: «11 делится на 2 без остатка», потому что при делении получается остаток.

Ответ: составлены одно истинное и одно ложное высказывание. Оба предложения подходят, так как их значения истинности можно однозначно проверить.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать любое предложение высказыванием. Так происходит, когда обращают внимание только на наличие слов, но забывают о цели предложения. Проверьте, сообщает ли оно факт, а не задаёт вопрос или не требует действия.

Ошибка 2. Путать истинность с правдоподобием. Убедительно звучащая фраза может не соответствовать фактам, поэтому её нужно проверить вычислением, правилом или источником знаний. Спросите себя не «похоже ли это на правду», а «можно ли доказать соответствие действительности».

Ошибка 3. Считать ложное предложение не высказыванием. Некоторые думают, что высказывание обязано быть правильным, хотя ложность — одно из его возможных значений. Если предложение является утверждением и его можно проверить, оно остаётся высказыванием.

Ошибка 4. Принимать неизвестный пока ответ за неопределённую истинность. Отсутствие готового решения не означает, что проверить утверждение невозможно. Если вычисление или проверка дадут однозначный результат, предложение является высказыванием.

Связь с другими темами

До изучения высказываний нужно различать повествовательные, вопросительные и побудительные предложения. Это помогает сразу понять, какие фразы можно оценивать по значениям «истина» и «ложь».

Понятие высказывания понадобится при изучении логических операций и построении алгоритмов с условиями. Компьютер проверяет высказывания в условии и в зависимости от полученного значения выбирает дальнейшее действие.

Что запомнить

• Высказывание — повествовательное предложение, которое можно оценить как истинное или ложное.
• Каждое высказывание имеет одно значение истинности.
• Истинное высказывание соответствует действительности.
• Ложное высказывание не соответствует действительности.
• Вопросы и команды не являются высказываниями.
• Ложное утверждение остаётся высказыванием.