3.2. Логическая операция НЕ

Определения и обозначения

Логическая операция НЕ — операция, которая меняет истинное значение высказывания на противоположное. Например, истинное высказывание после отрицания становится ложным. Эта операция помогает выразить, что утверждение не выполняется, и выполнять действия с логическими выражениями.

Отрицание высказывания A — результат применения к нему операции НЕ; его обозначают ¬A или НЕ A. Читают это как «не A». Такое обозначение коротко показывает, что значение исходного высказывания изменено на противоположное.

Операнд операции НЕ — высказывание, к которому применяется отрицание. Например, в записи НЕ A операндом является A. Понимание того, что именно служит операндом, помогает не перепутать исходное высказывание и результат операции.

Таблица истинности — таблица, показывающая значение результата логической операции для каждого значения исходного высказывания. Для НЕ в ней указывают, что получится при истинном и при ложном A. Такая таблица позволяет быстро проверить результат и не полагаться только на словесную формулировку.

Как это устроено

Операция НЕ меняет значение, потому что отрицание утверждает, что исходное высказывание не выполняется. Если A истинно, утверждать, что A неверно, нельзя: поэтому ¬A ложно. Если A ложно, утверждение о его невыполнении верно, и ¬A истинно.

Знак ¬ или слово НЕ ставят перед обозначением высказывания: ¬A и НЕ A читаются как «не A». Они относятся к A и образуют вместе с ним его отрицание. Поэтому сначала нужно определить, какое целое высказывание обозначено буквой A, а уже затем понимать запись с НЕ.

В таблице истинности операции НЕ две строки, потому что у высказывания есть только два возможных значения: истина и ложь. Для каждого из них записывают противоположное значение результата. Другие варианты в таблице не нужны, ведь операция применяется к одному высказыванию.

Чтобы составить отрицание словами, сначала нужно понять, что именно утверждается, а затем сказать, что это не выполняется. Например, из утверждения «Снег белый» получается «Неверно, что снег белый». Такой способ помогает не подменить отрицание новым утверждением с другим смыслом.

Если значение A уже известно, для определения НЕ A достаточно заменить его противоположным. Истину меняют на ложь, а ложь — на истину. Это правило следует из определения отрицания, поэтому результат можно проверить и по таблице истинности.

Таблица истинности операции НЕ

Сначала найдите в первом столбце значение исходного высказывания A. Затем прочитайте значение НЕ A в той же строке. Таблица показывает, что результат всегда противоположен исходному значению.

Разбор задач

Задача 1. Высказывание A: «Снег белый». Запишите его отрицание. Нужно не придумывать другое свойство снега, а отвергнуть именно утверждение о его цвете.

1. Определяем, что утверждается: снег белый.
2. Указываем, что это утверждение неверно: «Неверно, что снег белый».

Ответ: НЕ A: «Неверно, что снег белый». Отрицание относится ко всему исходному высказыванию. Здесь требуется записать его словами, а не определять истинность.

Задача 2. Известно, что высказывание A ложно. Определите значение НЕ A. Исходное значение уже дано, поэтому оценивать содержание A не требуется: достаточно применить правило отрицания.

1. Находим значение A: ложь.
2. Заменяем ложь на противоположное значение: истину.

Ответ: НЕ A истинно. Это следует из таблицы истинности: в строке, где A ложно, результат НЕ A равен истине. Если бы A было истинно, результат оказался бы ложным.

Задача 3. Высказывание A: «Число 8 делится на 2». Запишите НЕ A и определите истинность обоих высказываний. Здесь нужно отдельно сформулировать отрицание, а затем проверить факты о числе 8.

1. Записываем отрицание: «Число 8 не делится на 2».
2. Проверяем A: 8 делится на 2, потому что 8 : 2 = 4 без остатка; значит, A истинно.
3. Проверяем НЕ A: утверждение о неделимости неверно, значит, НЕ A ложно.

Ответ: A истинно, НЕ A ложно. Значения противоположны, как и должно быть при применении операции НЕ. Проверка деления помогает установить значение исходного высказывания до определения его отрицания.

Типичные ошибки

Ошибка — считать отрицание истинным, когда исходное высказывание истинно. Так происходит, если перепутать значение утверждения со значением фразы о его невыполнении. Проверьте себя по правилу: значения A и НЕ A всегда противоположны.

При составлении отрицания иногда меняют смысл высказывания, добавляя новые сведения или заменяя утверждение другим. Это случается, когда внимание уделяют отдельным словам, а не всему содержанию. Чтобы проверить себя, спросите: отрицает ли новая фраза именно исходное утверждение?

Не всякое утверждение, противоположное исходному по смыслу, является его точным отрицанием. Например, вместо «Число 8 делится на 2» не нужно придумывать другое свойство числа: достаточно сказать, что оно не делится на 2. Сверьте формулировку с исходной и уберите то, что не относится к отрицанию.

Ещё одна ошибка — применить НЕ только к отдельному слову, хотя по условию отрицается всё высказывание. Её допускают, когда не определяют границы исходного утверждения. Перед записью обозначьте полное высказывание A и проверьте, что отрицание относится ко всему A.

Связь с другими темами

Для работы с НЕ нужно уметь отличать истинные высказывания от ложных. Если не проверить исходное утверждение, нельзя правильно определить значение его отрицания. Сначала устанавливают значение A, а затем меняют его на противоположное.

Операция НЕ применяется при составлении и вычислении логических выражений. В выражениях она может использоваться вместе с операциями И и ИЛИ. Поэтому умение находить отрицание одного высказывания становится основой для работы с более сложными логическими выражениями.

Что запомнить

• НЕ — логическая операция отрицания.
• Результат НЕ A всегда противоположен значению A.
• Если A истинно, НЕ A ложно.
• Если A ложно, НЕ A истинно.
• Для операции НЕ достаточно знать значение одного высказывания.
• Таблица истинности НЕ содержит две строки — для истины и лжи.