"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В.М. Котов, А.И. Лапо, Е.Н. Войтехович
Логические операции И и ИЛИ помогают объединять высказывания и определять, истинно ли получившееся составное высказывание. Для этого сначала выясняют, истинна или ложна каждая его часть, а затем применяют правило операции. При И обе части должны быть истинными; при ИЛИ достаточно истинности хотя бы одной. Эти правила нужны, чтобы разбираться в логических выражениях и составлять условия для алгоритмов и программ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логическое высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» — высказывание, а вопрос «Идёт ли снег?» — нет. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие фразы можно проверять с помощью логики.
Логическое значение — одно из двух значений высказывания: истина или ложь. Оно показывает результат проверки фразы, а не её форму или длину. Значения нужны для выполнения операций: вместо целого предложения можно работать с его отметкой «истина» или «ложь».
Логическая операция И — операция над двумя высказываниями, результат которой истинен, только если истинны оба высказывания. Например, выражение «A И B» требует одновременного выполнения условий A и B. Это правило помогает проверять случаи, в которых должны выполняться сразу два условия.
Логическая операция ИЛИ — операция над двумя высказываниями, результат которой истинен, если истинно хотя бы одно из них. Запись «A ИЛИ B» допускает также, что истинны обе части. Операция нужна, когда для выполнения условия достаточно одного из нескольких вариантов.
Чтобы выполнить логическую операцию, сначала каждое исходное высказывание заменяют его логическим значением: истиной или ложью. Причина в том, что операция должна работать не со словами и их звучанием, а с тем, верна ли каждая часть. Например, разные по форме предложения могут иметь одинаковое значение, и для вычисления это значение важнее формулировки. Если нельзя однозначно установить истину или ложь хотя бы для одной части, результат операции определить нельзя.
Составное высказывание с операцией И образуется соединением двух высказываний словом «и». Его смысл — требование, чтобы выполнились оба условия одновременно. Поэтому, если первая часть истинна, а вторая ложна, всё составное высказывание не выполняет это требование и оказывается ложным. Истина получается только в случае, когда обе части истинны.
Составное высказывание с ИЛИ соединяет части так, что для истинности достаточно хотя бы одной. Это следует из смысла выбора: если выполнено первое условие или выполнено второе, условие уже выполнено. Если верны оба варианта, результат тоже истинен — дополнительная истинная часть не отменяет первую. Ложь получается лишь тогда, когда не подходит ни один вариант.
Чтобы определить истинность составного высказывания, двигайся последовательно: выдели части, проверь каждую, затем примени правило операции. Такой порядок не позволяет перепутать значение отдельной части с результатом всего выражения. Для выражения из нескольких операций сначала важно установить значения его частей и учитывать, какая операция их соединяет. В этой теме достаточно начать с двух высказываний и одной операции между ними.
Логическую операцию можно записать словами или условными обозначениями. Например, «A И B» можно прочитать как «A и B», а «A ИЛИ B» — как «A или B». При переходе от слов к обозначениям нельзя менять смысл: И по-прежнему требует двух истинных частей, а ИЛИ — хотя бы одной. Буквы A и B служат короткими именами высказываний, а не значениями истины или лжи.
| A | B | A И B | A ИЛИ B |
|---|---|---|---|
| Истина | Истина | Истина | Истина |
| Истина | Ложь | Ложь | Истина |
| Ложь | Истина | Ложь | Истина |
| Ложь | Ложь | Ложь | Ложь |
В таблице перечислены все четыре сочетания истинности двух высказываний. Чтобы найти результат, выбери строку со значениями A и B, а затем прочитай результат в столбце нужной операции. Сравни столбцы: для И важна истинность обеих частей, для ИЛИ — хотя бы одной.
Задача 1. Определить истинность высказывания: «Число 8 чётное И число 8 больше 5». Здесь соединены два условия, и операция И требует, чтобы оба оказались верными. Проверим каждую часть отдельно, прежде чем делать вывод обо всём предложении.
Ответ: высказывание истинно. Важно не останавливаться после проверки первого условия: для операции И нужно знать значения обеих частей.
Задача 2. Определить истинность высказывания: «Число 9 чётное ИЛИ число 9 больше 5». Здесь достаточно найти хотя бы одну истинную часть, но проверим обе, чтобы обосновать ответ. Если одна часть окажется ложной, это ещё не означает, что всё высказывание ложно.
Ответ: высказывание истинно. Если бы обе части оказались ложными, результат ИЛИ был бы ложным.
Задача 3. Составить таблицу истинности для «A ИЛИ B», где A — «идёт дождь», B — «идёт снег». Нужно определить результат для всех сочетаний значений A и B, а не только для погоды, которая наблюдается сейчас. Поскольку каждое высказывание может быть истинным или ложным, сочетаний будет четыре.
Ответ: значения в строках таблицы по порядку — истина, истина, истина, ложь. Обрати внимание: истинность обеих частей в первой строке не мешает результату оставаться истинным.
Ошибка: считать, что A И B истинно, если истинна хотя бы одна часть. Так рассуждают, перенося на И правило операции ИЛИ. Проверь себя: для И найди обе части и убедись, что каждая истинна; если одна ложна, результат тоже ложен.
Ошибка: считать, что A ИЛИ B истинно только при истинности ровно одной части. Такое понимание встречается из-за бытового значения слова «или», которое иногда подразумевает выбор только одного варианта. В логической операции ИЛИ подходят и одна истинная часть, и две; проверь отдельно строку, где A и B истинны.
Ошибка: применять операции к вопросам, просьбам или фразам, у которых нельзя определить истину и ложь. Например, у вопроса нет значения истинности, поэтому нельзя надёжно вычислить результат соединения с ним. Перед решением проверь, является ли каждая часть повествовательным предложением с однозначным значением.
Ошибка: сразу объявлять истинным всё составное высказывание, не проверив обе части. Тогда можно перепутать значение одной части с результатом всей операции. Запиши значения отдельно, а затем примени правило И или ИЛИ — так легко заметить неверный вывод.
Чтобы пользоваться операциями И и ИЛИ, нужно уметь отличать высказывания от вопросов, побуждений и фраз без однозначного значения истины или лжи. Это умение помогает правильно определять логические значения частей. Позже те же операции пригодятся при составлении условий в алгоритмах и программах: компьютер проверяет, выполняются ли заданные требования. Они также служат основой для изучения более сложных логических выражений.
Что называют логическим высказыванием?
Это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Число 8 чётное» является высказыванием.
Когда составное высказывание с И истинно?
Оно истинно только тогда, когда истинны обе его части. Если хотя бы одна часть ложна, всё высказывание с И ложно.
Когда составное высказывание с ИЛИ ложно?
Оно ложно, только если ложны обе его части. Если истинна хотя бы одна часть, высказывание с ИЛИ истинно.
Может ли высказывание A ИЛИ B быть истинным, если истинны обе части?
Да. В логике ИЛИ означает, что истинна хотя бы одна часть, поэтому случай, когда истинны обе, тоже подходит.
Как составить таблицу истинности для двух высказываний?
Перечисли четыре сочетания значений A и B: истина и истина, истина и ложь, ложь и истина, ложь и ложь. Для каждой строки примени правило нужной операции и запиши результат.
§ 4. Логические операции И и ИЛИ
