4.1. Логическая операция И

Определения и обозначения

Логическое высказывание — сообщение, которому можно приписать одно из двух значений: истина или ложь. Например, «Число 8 чётное» — высказывание, и оно истинно. Это понятие нужно, чтобы отличать сообщения, с которыми можно выполнять логические операции, от вопросов и команд.

Логическая операция И — операция над высказываниями, результат которой истинен только тогда, когда истинны оба исходных высказывания. Она объединяет условия, которые должны выполняться одновременно. Благодаря этому можно точно записывать составные требования, например «день выходной И погода солнечная».

Конъюнкция — другое название логической операции И. Если исходные высказывания обозначены буквами A и B, их соединение можно записать как A И B или A ∧ B. Знак показывает, что оба высказывания проверяются вместе; это не сложение чисел и не просьба выбрать одно из двух.

Таблица истинности — таблица, показывающая значение сложного высказывания при всех возможных значениях составляющих его высказываний. В ней для каждой комбинации истинности и ложности записан результат операции. Такая таблица нужна, чтобы увидеть правило целиком и не забыть ни одного случая.

Как это устроено

Операция И позволяет из двух высказываний составить одно сложное: оба исходных высказывания должны выполняться одновременно. Это следует из смысла союза «и» в условии, где перечислены обязательные требования. Если говорится «возьми тетрадь и учебник», выполнение только одной части не означает, что выполнено всё требование.

Результат операции И истинен только для пары «истина и истина»; если хотя бы одно высказывание ложно, результат ложен. Причина в том, что составное условие требует выполнения каждой части: ложная часть нарушает это требование. Поэтому не имеет значения, истинно ли второе высказывание, если первое уже оказалось ложным.

У каждого из двух высказываний есть два возможных значения: истина или ложь. Для первого можно выбрать одно из двух значений, и для каждого такого выбора у второго тоже есть два варианта. Поэтому всего получается четыре сочетания: истина–истина, истина–ложь, ложь–истина и ложь–ложь.

Если высказывания обозначить буквами A и B, конъюнкцию записывают A И B или A ∧ B. Эта запись сообщает, что нужно оценить совместную истинность A и B, а не складывать их значения как числа. Например, если A означает «свет включён», а B — «дверь закрыта», то A И B истинно лишь тогда, когда верны обе части.

Представь бытовое условие: в игру можно войти, если игрок назвал пароль и показал билет. Одного пароля недостаточно, как и одного билета, потому что правило требует выполнить обе части. Значит, составное условие станет истинным только при наличии и правильного пароля, и билета; если любое требование не выполнено, условие не сработает.

Таблица истинности операции И

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди значения обоих исходных высказываний. Затем выбери строку с такой же парой значений и прочитай результат в последнем столбце. Таблица подтверждает, что истинной конъюнкция бывает только в первой строке.

Разбор задач

Задача 1. Для высказываний A: «Число 8 чётное» и B: «Число 8 больше 5» определи значение A И B. Сначала нужно проверить каждое высказывание отдельно, не делая вывод только по одному из них. После этого результат находят по правилу операции И.

1. Число 8 делится на 2 без остатка, поэтому A истинно.
2. Число 8 больше 5, поэтому B тоже истинно.
3. Оба значения — истина; в таблице истинности этой паре соответствует истина.

Ответ: A И B истинно. Здесь составное высказывание верно, потому что верны обе его части, а именно это и требуется для операции И.

Задача 2. Для высказываний A: «Число 9 чётное» и B: «Число 9 больше 5» определи значение A И B. Даже если одно утверждение окажется верным, нужно проверить и другое: операция И не позволяет остановиться на первой части. Важно установить, выполняются ли они одновременно.

1. Число 9 не делится на 2 без остатка, поэтому A ложно.
2. Число 9 больше 5, поэтому B истинно.
3. Для пары «ложь, истина» таблица даёт результат «ложь».

Ответ: A И B ложно. Первое высказывание не выполняется, а значит, не выполнено требование истинности обеих частей.

Задача 3. Чтобы пройти в компьютерный класс, ученик должен предъявить пропуск И дежурный должен подтвердить его фамилию. Обозначим A условие «ученик предъявил пропуск», а B — «дежурный подтвердил фамилию». Ученик пройдёт, только если составное условие A И B истинно.

1. Если A истинно и B истинно, пропуск предъявлен и фамилия подтверждена: ученик пройдёт.
2. Если A истинно, а B ложно, одного пропуска недостаточно: ученик не пройдёт.
3. Если A ложно, а B истинно, подтверждения без предъявленного пропуска недостаточно: ученик не пройдёт.
4. Если оба условия ложны, не выполнено ни одно требование: ученик не пройдёт.

Ответ: пройти можно только при сочетании «истина, истина». Разбор всех четырёх сочетаний помогает применить правило даже тогда, когда бытовая ситуация кажется запутанной.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать результат истинным, если истинно хотя бы одно высказывание. Так путают И с ИЛИ: при И недостаточно, чтобы сработала только одна часть. Проверь себя вопросом: «Оба ли условия выполнены?» Если нет, результат И должен быть ложным.

Вторая ошибка — считать результат ложным только тогда, когда оба высказывания ложны. Её допускают, потому что не замечают, что уже одного невыполненного требования достаточно. Сверься с таблицей: пары «истина, ложь» и «ложь, истина» тоже дают ложь.

Третья ошибка — автоматически считать, что союз «и» в любом предложении уже задаёт логическую операцию И. Смысл фразы зависит от того, являются ли её части высказываниями и должны ли они выполняться одновременно. Чтобы проверить себя, выдели обе части и установи истинность каждой отдельно, а затем примени правило конъюнкции.

Четвёртая ошибка — пропустить одну из четырёх комбинаций значений. Обычно это происходит, когда перечисляют только самые заметные случаи, например оба истинных и оба ложных. Проверь таблицу по двум значениям для каждого высказывания: должны присутствовать все четыре пары — И–И, И–Л, Л–И и Л–Л.

Связь с другими темами

Для работы с операцией И нужно уметь отличать логические высказывания от вопросов и команд: только первым можно приписать истину или ложь. Также важно определять истинность простых высказываний, прежде чем соединять их. Позже операция И пригодится при изучении других логических операций, составных условий и алгоритмов, в которых требуется проверить несколько условий одновременно.

Что запомнить

• Операция И применяется к логическим высказываниям.
• Результат операции И истинен, только если истинны оба высказывания.
• Если хотя бы одно исходное высказывание ложно, результат операции И ложен.
• Для двух высказываний существует четыре сочетания значений истинности.
• Таблица истинности показывает результат для каждого сочетания значений.
• Операция И также называется конъюнкцией.