"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В.М. Котов, А.И. Лапо, Е.Н. Войтехович
Логическая операция ИЛИ объединяет два высказывания и помогает определить значение составного высказывания. Она нужна, когда для выполнения условия достаточно, чтобы сбылось хотя бы одно из нескольких требований. Результат ИЛИ истинен при любой комбинации, кроме случая, когда оба высказывания ложны. Операцию обозначают знаком ∨, а все возможные сочетания значений показывают в таблице истинности. Это правило используют и при чтении логических выражений, и при составлении условий в программах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логическое высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «4 больше 2» — истинное высказывание, а «4 меньше 2» — ложное. Это понятие нужно, чтобы отличать утверждения, которые можно проверить, от вопросов и просьб. В логике именно с высказываниями выполняют операции.
Логическое значение — одно из двух значений: «истина» или «ложь», которыми характеризуется высказывание. Если утверждение соответствует действительности, ему приписывают истину; если не соответствует — ложь. Значения позволяют выполнять действия с высказываниями по точным правилам. Для удобства их часто обозначают словами или буквами.
Логическая операция ИЛИ — операция, результат которой истинен, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний. Она соединяет утверждения так, что достаточно выполнения одного из них. Например, условие «день выходной или сегодня праздник» срабатывает, если верно хотя бы одно утверждение. Определение помогает понять, как оценивать результат, не полагаясь на бытовую интонацию слова «или».
Дизъюнкция — обозначение логической операции ИЛИ; записывается как A ∨ B или «A или B». Буквы A и B обозначают исходные высказывания, а знак ∨ показывает, что над ними выполняют ИЛИ. Запись нужна, чтобы коротко представлять логические выражения. Знак ∨ не следует путать со знаком ∧, который обозначает операцию И.
Операция ИЛИ объединяет два логических высказывания в одно составное высказывание. Составным оно называется потому, что его значение зависит от частей, соединённых логической операцией. Например, вместо двух отдельных утверждений A и B рассматривают одно выражение A ∨ B. Такое объединение удобно, когда условие может выполняться разными способами. Достаточно, чтобы сработал хотя бы один из них.
Результат операции ИЛИ ложен только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Причина в том, что ни одна из частей в таком случае не подтверждает составное утверждение. Если A ложно и B ложно, выражение A ∨ B тоже ложно. Это единственное сочетание, при котором ИЛИ не даёт истину, поэтому его легко использовать как проверку правила.
Во всех остальных случаях, когда истинно хотя бы одно высказывание, результат операции ИЛИ истинен. Это относится и к ситуации, когда истинно только A, и к ситуации, когда истинно только B. Если истинны оба высказывания, результат тоже истинен: условие «хотя бы одно» выполнено. Поэтому для решения не нужно выбирать только одно исходное утверждение — учитываются оба.
Значение составного высказывания находят последовательной проверкой значений его частей и фиксируют в таблице истинности. Для каждой возможной комбинации сначала записывают значения исходных высказываний, а затем применяют правило операции. Такой способ не позволяет забыть отдельный случай. В математической логике ИЛИ обозначают знаком ∨, а в языках программирования ему соответствуют специальные логические операторы. Их написание зависит от языка, но смысл операции остаётся тем же.
| A | B | A ∨ B | Смысл результата |
|---|---|---|---|
| Истина | Истина | Истина | Истинны оба высказывания |
| Истина | Ложь | Истина | Истинно A |
| Ложь | Истина | Истина | Истинно B |
| Ложь | Ложь | Ложь | Оба высказывания ложны |
Чтобы пользоваться таблицей, найди строку с нужными значениями A и B. В столбце A ∨ B указан результат операции, а последний столбец помогает объяснить, почему он получился. Для двух высказываний проверь все четыре строки: так ни одна комбинация не останется без ответа.
Задача: определить значение высказывания «7 > 3 или 5 = 2». Нужно проверить каждую часть отдельно, а после этого применить правило ИЛИ. Не следует оценивать всё предложение сразу: отдельные проверки покажут, какое из высказываний истинно. Запишем рассуждение по шагам.
Ответ: истина. Здесь достаточно истинности первого высказывания, хотя второе оказалось ложным. Если бы обе части были ложными, результат ИЛИ тоже был бы ложным.
Задача: составить таблицу истинности для A ∨ B. У каждого из двух высказываний есть два возможных значения, поэтому нужно перебрать их сочетания. Нельзя ограничиться удобными примерами: таблица должна охватывать все варианты. Дальше для каждой строки применим правило ИЛИ.
Ответ: таблица содержит четыре строки сочетаний, и только последняя даёт ложный результат. Для проверки убедись, что в ней встретились оба значения A и B и ни один вариант не пропущен.
Задача: определить значение выражения (A ∨ B) ∨ C при заданных значениях A, B и C. Например, пусть A — ложь, B — истина, C — ложь. Скобки показывают, какое действие нужно выполнить первым, поэтому начинаем с A ∨ B. Такой порядок помогает не перепутать промежуточный результат с исходными значениями.
Ответ: истина. Если в задаче заданы другие значения A, B и C, шаги остаются такими же: сначала скобки, затем операция с C. В каждом действии проверяй, есть ли среди его двух частей хотя бы одна истина.
Ошибка: считать результат ИЛИ ложным, если одно из высказываний ложно. Так происходит, когда правило ИЛИ путают с правилом И, где важны оба значения. Проверь себя: если второе высказывание истинно, результат ИЛИ должен быть истинным, даже когда первое ложно. Запомни условие «хотя бы одно».
Ошибка: записывать ложь при двух истинных высказываниях. Иногда кажется, что для ИЛИ можно выбрать только одно из утверждений, но в логике истинность обеих частей не мешает результату. Проверь строку таблицы, где A и B — истина: A ∨ B также истина. Если получилась ложь, правило применено неверно.
Ошибка: путать знак ∨ со знаком ∧. Похожие обозначения легко перепутать, но ∨ означает ИЛИ, а ∧ — И. При проверке прочитай выражение вслух и вспомни правило: для ИЛИ достаточно одной истины, для И нужны две. Так можно проверить смысл знака до вычислений.
Ошибка: учитывать только первое высказывание и не проверять второе. Тогда результат может оказаться неверным, например, если первое ложно, а второе истинно. Проверь себя: перед ответом выпиши значения обоих операндов, то есть частей выражения. Затем найди соответствующий случай в таблице истинности.
Для изучения ИЛИ нужно знать, что такое логическое высказывание и какие значения называют истиной и ложью. Эти понятия позволяют определить, с какими объектами выполняется операция. Полезно также помнить правило логической операции И: её легко сравнить с ИЛИ и не перепутать условия получения истины. Сравнение особенно помогает при чтении таблиц.
Операцию ИЛИ используют при составлении и чтении сложных логических выражений. В них могут соединяться несколько высказываний и операций, поэтому нужно следить за порядком действий и скобками. Навык вычисления простого A ∨ B помогает постепенно разбирать такие выражения. Он пригодится и для составления таблиц истинности.
В программировании ИЛИ помогает записывать условия и ветвления. Например, программа может выполнить действие, если подходит хотя бы одно из нескольких условий. Чтобы условие работало правильно, нужно заранее определить, какие значения считаются истинными, и верно соединить проверки. Само логическое правило при переходе в программу не меняется.
Почему при одном истинном высказывании результат ИЛИ истинен?
По правилу ИЛИ достаточно, чтобы истинным было хотя бы одно из высказываний. Поэтому ложное значение второго высказывания не меняет результат на ложный.
Когда результат операции ИЛИ бывает ложным?
Только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Если хотя бы одно из них истинно, результат операции ИЛИ будет истинным.
Чем операция ИЛИ отличается от операции И?
Для ИЛИ достаточно истинности хотя бы одного высказывания. У операции И результат истинен только тогда, когда истинны оба высказывания.
Как обозначают операцию ИЛИ?
В математической логике её обозначают знаком ∨. Например, A ∨ B читают «A или B».
Как составить таблицу истинности для выражения с несколькими операциями ИЛИ?
Сначала перечисли все сочетания значений исходных высказываний, а затем вычисляй выражение по порядку. Если есть скобки, сначала выполни операцию внутри них, после чего используй полученный результат дальше.
4.2. Логическая операция ИЛИ
