5.2. Понятие подмножества

Определения и обозначения

Множество — это совокупность объектов, которые рассматривают как одно целое. Например, {2, 4, 6} — множество чисел. Множества обычно обозначают заглавными буквами A, B, C, а их элементы — строчными буквами или другими символами. Такое обозначение помогает сразу понять, о чём говорится: о целом множестве или об отдельном объекте.

Множество A является подмножеством множества B, если каждый элемент A принадлежит B. Например, {2, 4} является подмножеством {1, 2, 3, 4}, потому что оба числа из первого множества есть во втором. Подмножество нужно, чтобы описывать связь между множествами и проверять, содержит ли одно множество все элементы другого.

Знак ⊆ обозначает включение множеств. Запись A ⊆ B читают «A является подмножеством B» или «A включено в B». Она означает, что ни один элемент A не выходит за пределы B, поэтому для проверки записи сравнивают именно элементы множеств.

Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента; его обозначают ∅. Оно является подмножеством любого множества, потому что в нём нет элемента, который не принадлежал бы этому множеству. Это правило пригодится при рассмотрении всех возможных подмножеств, в том числе самых простых.

Как это устроено

Чтобы доказать A ⊆ B, достаточно проверить, что каждый элемент A принадлежит B. Именно это и требует определение подмножества: речь идёт обо всех элементах первого множества, а не о большинстве или некоторых из них. Если проверка обнаружила хотя бы один элемент A, которого нет в B, условие нарушено и включения нет. Поэтому при конечном перечислении нужно пройти весь список A.

Принадлежность элемента и включение множеств — разные отношения. Запись a ∈ A означает, что объект a является элементом A, а запись A ⊆ B сравнивает множество A с множеством B. В первом случае слева стоит отдельный объект, во втором — целое множество. Например, если A = {1, 2}, то 1 ∈ A, а A ⊆ {1, 2, 3}; заменять один знак другим нельзя.

Любое множество является подмножеством самого себя: A ⊆ A. Причина проста: каждый элемент A принадлежит A, поэтому ни один элемент не нарушает условие включения. Для подмножества не обязательно быть меньше исходного множества или содержать меньше элементов. Это позволяет включать в список подмножеств и само множество.

Порядок перечисления элементов не меняет множество: {1, 2} и {2, 1} содержат одни и те же объекты. Повторять один и тот же элемент тоже не нужно: запись {1, 1, 2} задаёт то же множество, что и {1, 2}. Поэтому при проверке A ⊆ B сравнивают состав множеств, а не порядок записи и не число повторов. Иначе можно ошибочно принять одинаковые множества за разные.

Если A ⊆ B и B ⊆ C, то A ⊆ C. Возьмём любой элемент A: из первого включения следует, что он есть в B, а из второго — что он есть в C. Значит, каждый элемент A принадлежит C, как и требует определение подмножества. Это свойство называют транзитивностью включения и используют, чтобы сделать вывод без повторной проверки каждого элемента.

Основные случаи включения множеств

Чтобы пользоваться таблицей, найди элементы первого множества, которых нет во втором. В примере число 4 есть в A, но отсутствует в B, поэтому A ⊄ B. Если такого элемента не нашлось после полной проверки, выполняется включение A ⊆ B.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {2, 4, 6} и B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Определим, является ли A подмножеством B. Сопоставим элементы A с элементами B по очереди, не пропуская ни одного. По определению включение верно, только если найдены все элементы A.

1. Проверяем 2: оно есть в B. Значит, первый элемент условию соответствует. Продолжаем проверку остальных элементов A.
2. Проверяем 4 и 6: оба числа также есть в B. В A больше элементов нет, а значит, каждый его элемент принадлежит B.

Ответ: A ⊆ B. Вывод сделан после проверки полного состава A, а не только одного удобного элемента. Если бы хотя бы одно число не нашлось в B, включение было бы неверным.

Задача 2. Перечислим все подмножества множества A = {a, b}. Подмножество может не содержать элементов, содержать только один из них или включать оба. Других вариантов нет, потому что в A всего два разных элемента.

1. Сначала берём вариант без элементов: это пустое множество ∅. Затем составляем варианты с одним элементом: {a} и {b}.
2. Наконец, включаем оба элемента и получаем {a, b}. Проверяем, что каждый вариант состоит только из элементов A, а сами варианты не повторяются.

Ответ: ∅, {a}, {b}, {a, b}. Пустое множество включено в список наравне с остальными вариантами. Само A тоже является своим подмножеством.

Задача 3. Даны A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4}. Установим все верные включения и отметим те, которые следуют из транзитивности. Сначала сравним состав соседних множеств, а затем — крайних. Так мы не перепутаем прямую проверку с выводом по правилу.

1. Каждый элемент A есть в B, поэтому A ⊆ B. Каждый элемент B есть в C, поэтому B ⊆ C. Эти два включения устанавливаем сравнением элементов.
2. Из A ⊆ B и B ⊆ C по транзитивности следует A ⊆ C. Его также можно проверить непосредственно: и 1, и 2 входят в C.

Ответ: верны A ⊆ B, B ⊆ C и A ⊆ C. Последнее включение следует из двух первых по транзитивности, хотя его можно подтвердить и отдельной проверкой. Других включений между этими тремя различными множествами нет: в обратном направлении найдутся элементы, отсутствующие в меньшем множестве.

Типичные ошибки

Путают a ∈ A и A ⊆ B, потому что оба знака связаны с множествами. Но ∈ соединяет отдельный элемент с множеством, а ⊆ сравнивает два множества. Проверь себя: слева от ∈ должен стоять элемент, а слева от ⊆ — множество. Например, 1 ∈ A и A ⊆ B могут быть верными одновременно, но означают разное.

Проверяют только часть элементов первого множества и сразу делают вывод о включении. Так поступают, когда находят несколько совпадений и принимают их за достаточное доказательство. Однако один непроверенный элемент может отсутствовать во втором множестве. Проверь себя: перечисли все элементы A и поставь отметку напротив каждого найденного в B.

Считают, что A ⊆ B возможно лишь тогда, когда в B есть элементы, которых нет в A. Такое ожидание возникает из-за представления о подмножестве как обязательно меньшем множестве. Но определение требует только, чтобы все элементы A входили в B, поэтому допустимо A ⊆ A. Проверь себя: сравни состав множеств, а не их названия или количество элементов.

Думают, что пустое множество не может быть подмножеством, потому что в нём нет элементов. Ошибка появляется, если понимать проверку как поиск обязательного элемента. На самом деле нужно найти элемент, который не входит в другое множество, а в ∅ искать нечего. Проверь себя: условие «есть элемент ∅, отсутствующий в B» невозможно, значит, ∅ ⊆ B.

Связь с другими темами

Для работы с подмножествами нужно знать, что такое множество и его элементы, а также понимать записи ∈ и перечисление элементов. Дальше включение поможет изображать отношения между множествами, выполнять операции над ними и разбираться в числовых множествах. Связь с логикой выражается словами «для любого элемента A он принадлежит B»: это и есть условие A ⊆ B. Слово «для любого» напоминает, что проверять нужно каждый элемент.

Что запомнить

• A ⊆ B означает: каждый элемент A принадлежит B.
• Подмножество сравнивают с множеством, а не с отдельным элементом.
• Любое множество является подмножеством самого себя.
• Пустое множество является подмножеством любого множества.
• Чтобы доказать включение, нужно проверить все элементы первого множества.
• Из A ⊆ B и B ⊆ C следует A ⊆ C.
• Записи a ∈ A и A ⊆ B имеют разный смысл.