"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В.М. Котов, А.И. Лапо, Е.Н. Войтехович
Объединение, пересечение и разность помогают сравнивать множества и описывать, как связаны их элементы. Эти операции нужны, например, чтобы найти всех участников нескольких кружков или выделить общие признаки предметов. Главное — проверять принадлежность каждого элемента и помнить, что для разности важен порядок множеств. Результат любой операции тоже является множеством, поэтому каждый элемент в нём записывают только один раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объединение множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из них; его обозначают A ∪ B. Это обозначение используют, когда нужно собрать все подходящие элементы из двух множеств. Общие элементы тоже входят в объединение, но каждый записывается один раз.
Пересечение множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам; обозначение — A ∩ B. Оно помогает выделить то, что у множеств есть общего. Если общих элементов нет, пересечение называют пустым множеством.
Разность множеств A и B — множество элементов A, не принадлежащих B; её обозначают A \ B. Эта операция нужна, чтобы оставить в A только то, чего нет в B. Порядок записи здесь существенен: в начале указывают множество, из которого выбирают элементы.
Равные множества — множества, состоящие из одних и тех же элементов, даже если элементы записаны в разном порядке. Например, {1, 2, 3} и {3, 1, 2} равны. Это правило позволяет сравнивать множества по составу, а не по тому, как перечислены их элементы.
Чтобы получить объединение, рассматривают элементы сначала одного, затем другого множества и собирают их в общий список. Если один и тот же элемент встретился дважды, второй раз его не записывают: в множестве нет повторяющихся элементов. Поэтому удобно проверять каждый новый элемент — уже есть он в списке или ещё нет. Так в результате остаются все элементы, подходящие хотя бы одному из исходных множеств.
Пересечение находят, проверяя элементы на принадлежность сразу двум множествам. Элемент подходит только тогда, когда он есть и в A, и в B, поэтому элементы, встречающиеся лишь в одном множестве, в результат не попадают. Если ни один элемент проверку не проходит, общих элементов нет и пересечение пусто. Такой способ помогает не перепутать пересечение с объединением: здесь список обычно уже, поскольку в него попадает только общее.
При нахождении A \ B сначала смотрят на элементы A, потому что только они могут оказаться в ответе. Каждый из них сравнивают с B: если элемент есть в B, его исключают, а если нет — оставляют. Элементы, которые есть только в B, рассматривать для результата не нужно. Из-за такого порядка A \ B и B \ A могут содержать разные элементы.
Один элемент может принадлежать сразу обоим множествам, и его роль зависит от выбранной операции. В объединении он входит в общий список один раз, потому что повтор не создаёт нового элемента. В пересечении он сохраняется именно потому, что есть в обоих множествах. В разности A \ B его удаляют, так как условие требует оставить элементы A, которых в B нет.
На конечных множествах операции удобно выполнять перечислением: выписать исходные элементы, проверить их по правилу и записать результат. Причина в том, что каждый элемент можно отдельно проверить на принадлежность нужным множествам. Получившийся список тоже задаёт множество, поэтому в нём не должно быть повторов. Для самопроверки можно пройти исходные элементы ещё раз и убедиться, что ни один подходящий не пропущен.
| Операция | Обозначение | Условие принадлежности элемента | Пример: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} |
|---|---|---|---|
| Объединение | A ∪ B | Элемент принадлежит A или B (или обоим). | {1, 2, 3, 4} |
| Пересечение | A ∩ B | Элемент принадлежит и A, и B. | {3} |
| Разность A и B | A \ B | Элемент принадлежит A и не принадлежит B. | {1, 2} |
Сначала найдите в таблице нужную операцию и её обозначение. Затем примените условие принадлежности к каждому элементу исходных множеств. В последнем столбце можно проверить результат на примере.
Даны A = {2, 4, 6} и B = {1, 2, 3}. Найдите A ∪ B. Нужно собрать элементы из обоих множеств, не добавляя один и тот же элемент повторно. Поэтому начнём с A, а затем проверим элементы B.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}. Проверка: каждый элемент A и B присутствует, а число 2 указано только один раз. Значит, список соответствует правилу объединения.
Даны A = {а, б, в, г} и B = {б, г, д}. Найдите A ∩ B и A \ B. Сначала отыщем элементы, общие для обоих множеств, а затем отдельно оставим элементы A, которых нет в B. Для второй операции не будем добавлять элементы из B, даже если они не встречаются в A.
Ответ: A ∩ B = {б, г}; A \ B = {а, в}. Проверка пересечения показывает, что каждый его элемент есть в обоих множествах. Проверка разности показывает, что а и в принадлежат A, но не принадлежат B.
В классе 18 учеников посещают кружок информатики, 12 — кружок робототехники, а 5 посещают оба кружка. Сколько учеников посещают хотя бы один из этих кружков? Если просто сложить 18 и 12, пять общих участников посчитаются два раза. Чтобы найти число учеников без повторного счёта, нужно убрать один такой повтор.
Ответ: хотя бы один кружок посещают 25 учеников. Здесь использовано правило для двух множеств: количество элементов объединения равно сумме количеств элементов множеств за вычетом количества их пересечения. Вычитать пересечение нужно именно потому, что при сложении его посчитали дважды.
Первая ошибка — записать общий элемент дважды в объединении. Так делают, когда просто соединяют два списка, не проверяя повторы. Чтобы проверить себя, просмотрите ответ и убедитесь, что каждое значение указано один раз; при этом ни один элемент исходных множеств не должен пропасть.
Вторая ошибка — перепутать объединение с пересечением. Объединение включает элементы хотя бы одного множества, а пересечение — только общие, поэтому ответы могут сильно различаться. Путаница возникает, если не проверить условие операции для каждого элемента. Спросите себя: достаточно ли принадлежать одному множеству или нужно принадлежать обоим?
Третья ошибка — считать, что A \ B и B \ A дают одно и то же. В разности первым стоит множество, элементы которого проверяют, поэтому перестановка букв меняет исходный набор. Например, при A = {1, 2} и B = {2, 3} получаем A \ B = {1}, а B \ A = {3}. Проверяйте, из какого множества вы выбираете элементы.
Четвёртая ошибка — при поиске A \ B удалять элементы A, которых нет в B. Их, наоборот, нужно оставить: исключают элементы A, принадлежащие B. Ошибка часто появляется из-за невнимания к фразе «не принадлежащих B». Для самопроверки убедитесь, что каждый элемент ответа есть в A и отсутствует в B.
Перед выполнением операций нужно уметь задавать конечные множества перечислением и проверять, принадлежит ли элемент множеству. Без этого нельзя точно решить, какие элементы включить в результат. Операции помогают решать задачи на классификацию объектов и подсчёт участников нескольких групп. В логике объединению соответствует «или», а пересечению — «и»: это отражает правила, по которым элемент попадает в результат.
Почему в объединении общий элемент записывают только один раз?
Объединение — это множество, а в множестве каждый элемент указывают без повторений. Если элемент есть в обоих исходных множествах, он всё равно остаётся одним и тем же элементом.
Чем объединение отличается от пересечения?
В объединение входят элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. В пересечение входят только те элементы, которые есть в обоих множествах одновременно.
Почему A \ B не всегда равно B \ A?
В A \ B оставляют элементы A, которых нет в B, а в B \ A — элементы B, которых нет в A. Исходное множество, из которого выбирают элементы, меняется, поэтому результаты могут отличаться.
Что получится, если у двух множеств нет общих элементов?
Их пересечение будет пустым множеством, потому что не найдётся элемента, который принадлежит обоим множествам. Объединение при этом всё равно содержит элементы обоих множеств.
Как найти количество элементов в объединении, если известны количества элементов множеств и их пересечения?
Сложите количества элементов двух множеств и вычтите количество элементов их пересечения. Общие элементы при сложении посчитались дважды, поэтому одно из этих повторных учётов нужно убрать.
§ 6. Операции над множествами
