19.3. Возведение числа в степень

Определения и обозначения

Степень числа — запись произведения одинаковых множителей: в записи aⁿ число a возводят в степень n. Например, a · a · a записывают как a³. Такая запись делает длинное произведение короче и помогает быстрее выполнять вычисления.

Основание степени — число, которое является повторяющимся множителем. В записи 7⁴ основание равно 7, потому что именно семёрку перемножают несколько раз. По основанию можно понять, какое число участвует в повторяющемся умножении.

Показатель степени — число, показывающее, сколько раз основание берут множителем. В записи 7⁴ показатель равен 4, а значит, произведение состоит из четырёх семёрок: 7 · 7 · 7 · 7. Показатель позволяет не перечислять множители каждый раз.

Возведение в степень — арифметическое действие, результатом которого является степень числа. Например, при возведении 2 в третью степень получаем 2³, то есть 2 · 2 · 2 = 8. Название действия помогает отличать его от сложения и обычного умножения.

Как это устроено

Если одинаковый множитель повторяется несколько раз, его можно заменить степенью: a · a · a записывается как a³. Основание показывает, какое число повторяется, а показатель — сколько раз оно встречается в произведении. Поэтому запись 5 · 5 · 5 · 5 равна 5⁴. Такая замена особенно полезна, когда множителей много.

При натуральном показателе больше единицы основание умножают само на себя столько раз, сколько указано в показателе. Например, 3⁴ означает 3 · 3 · 3 · 3, а не 3 · 4. Причина в том, что степень сокращает запись повторяющегося произведения, поэтому показатель считает множители, а не задаёт новый множитель. Чтобы вычислить значение степени, сначала раскройте её, затем выполните умножение.

Первая степень числа равна самому числу: a¹ = a. При показателе 1 основание встречается множителем только один раз, и умножать его на себя не нужно. Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Это правило согласуется с делением одинаковых степеней: aⁿ / aⁿ = 1, а разность показателей равна нулю.

Если основание отрицательное, важно определить чётность показателя и проверить скобки. При чётном показателе отрицательных множителей поровну объединяются в пары, а произведение каждой пары положительно, поэтому результат положителен. При нечётном показателе один отрицательный множитель остаётся без пары, и результат отрицателен. Скобки показывают, что минус входит в основание: (−2)³, в отличие от −2³.

В выражении со степенями сначала вычисляют степени, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы у каждого выражения было одно определённое значение. Например, в 2³ + 3 · 4 сначала находят 2³ и 3 · 4, а затем складывают результаты. Скобки могут изменить порядок: действия внутри них выполняют раньше.

Основные случаи возведения числа в степень

Сначала найдите в таблице строку, которая подходит к показателю и знаку основания. Затем раскройте степень или примените правило для показателя 1 или 0. В примерах с отрицательным числом отдельно проверьте, входят ли скобки в запись основания.

Разбор задач

Вычислить 4³. Здесь основание равно 4, а показатель 3, значит, в произведении будет три четвёрки. Раскрываем степень и перемножаем множители по порядку.

1. Записываем произведение: 4³ = 4 · 4 · 4.
2. Выполняем умножение: 4 · 4 = 16, затем 16 · 4 = 64.
3. Ответ: 4³ = 64.

Вычислить (−3)⁴ и −3⁴, сравнить результаты. В первом выражении скобки включают минус в основание, во втором основание степени — только 3. Поэтому сначала вычислим обе степени, соблюдая порядок действий и следя за знаком.

1. Для первого выражения раскрываем скобки как основание: (−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3).
2. Показатель чётный, пары отрицательных множителей дают положительный результат: (−3)⁴ = 81.
3. Во втором выражении сначала возводим 3 в степень, а затем применяем знак минус: −3⁴ = −(3 · 3 · 3 · 3) = −81. Ответ: значения равны 81 и −81, они отличаются знаком.

Вычислить 2³ + (−2)³ · 3². В выражении есть степени, умножение и сложение, поэтому нельзя выполнять действия просто слева направо. Сначала вычислим степени, сохраняя знак отрицательного основания в скобках.

1. Вычисляем степени: 2³ = 8, (−2)³ = −8, 3² = 9.
2. Выполняем умножение: (−8) · 9 = −72.
3. Складываем: 8 + (−72) = −64. Ответ: −64.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что aⁿ означает a, умноженное на n. Так происходит, когда показатель принимают за обычный множитель, хотя он считает число одинаковых оснований. Проверка: раскройте степень, например a³ = a · a · a, и сравните с a · 3.

Ошибка: путать (−a)ⁿ и −aⁿ. Скобки означают, что отрицательное число целиком является основанием, а без скобок степень относится только к a. Проверка: сначала найдите основание и выполните возведение в степень, затем примените знак минус, если он стоит перед степенью.

Ошибка: считать, что нулевая степень любого числа равна единице. Правило a⁰ = 1 относится только к a ≠ 0, поэтому его нельзя без оговорки применять к нулю. Проверка: убедитесь, что основание не равно нулю, прежде чем использовать это правило.

Ошибка: получать положительный результат при нечётной степени отрицательного основания. Её допускают, если замечают пары отрицательных множителей, но забывают один непарный множитель. Проверка: сгруппируйте множители по два; при нечётном количестве один минус останется, поэтому результат будет отрицательным.

Связь с другими темами

Для вычисления степеней нужны навыки умножения и деления, понимание отрицательных чисел и знание порядка арифметических действий. Эти знания помогают правильно раскрывать произведение и определять знак результата. Степени, в свою очередь, используют для краткой записи больших и малых чисел. Они также встречаются в задачах на площади и объёмы и при изучении свойств арифметических выражений.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• Число a называют основанием, число n — показателем степени.
• a¹ = a.
• Для a ≠ 0 верно a⁰ = 1.
• Степень отрицательного основания с чётным показателем положительна.
• Степень отрицательного основания с нечётным показателем отрицательна.
• Степень вычисляют раньше умножения, деления, сложения и вычитания.