19.4. Построение таблицы значений функции

Определения и обозначения

Функция — правило, по которому каждому допустимому значению аргумента соответствует значение зависимой величины. Например, правило y = 2x + 1 задаёт значение y для каждого выбранного x. Понятие функции нужно, чтобы описывать зависимость одной величины от другой и вычислять её результаты.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая x; её значения подставляют в правило функции. Если задано y = 2x + 1, аргументом будет x, а допустимые значения могут быть, например, 0, 1 и 2. Аргумент нужен, чтобы указать, для какого именно значения следует выполнить вычисление.

Значение функции — результат вычисления f(x) при заданном значении аргумента x. Для правила f(x) = 2x + 1 при x = 3 получаем f(3) = 7. Это понятие позволяет различать исходное число, которое подставили, и полученный результат.

Таблица значений функции — таблица, в которой каждому выбранному значению аргумента поставлено в соответствие вычисленное значение функции. Обычно аргументы записывают в одном столбце, а результаты — напротив них в соседнем. Такая запись помогает не перепутать пары значений и использовать их для построения графика.

Как это устроено

Сначала задают функцию и выбирают промежуток изменения аргумента, для которого нужны вычисления. Формула определяет, как находить результат, а промежуток ограничивает набор исходных значений. Без этих условий нельзя понять, какие строки должны попасть в таблицу и какое правило применять.

Промежуток разбивают на равные шаги: разность соседних значений x должна быть постоянной. Например, при шаге 1 после −2 идут −1, 0, 1 и 2. Равномерный шаг упрощает заполнение таблицы и позволяет сравнивать результаты в последовательных точках, не пропуская промежуточные значения.

В первый столбец записывают значения аргумента, начиная с выбранного начального значения; следующие значения получают прибавлением шага. Так можно последовательно пройти от начала промежутка к концу и проверить, не пропущено ли число. Если конечная точка не получается при прибавлении шага, стоит свериться с условием: возможно, шаг или требуемые значения поняты неверно.

Для каждого x вычисляют f(x) по заданной формуле и записывают результат напротив соответствующего аргумента. Сначала подставляют значение, затем выполняют действия в правильном порядке, учитывая знаки и степени. Одна и та же формула применяется во всех строках, поэтому каждая пара в таблице связывает конкретный аргумент с его результатом.

При использовании электронной таблицы формулу вводят для первой строки значений, затем копируют её вниз. В формуле должна быть ссылка на ячейку, где находится аргумент: при копировании ссылка обычно меняется на ячейку следующей строки. После заполнения проверьте несколько результатов вручную, чтобы убедиться, что формула не ссылается каждый раз на одну и ту же ячейку.

Этапы построения таблицы значений функции

Двигайтесь по этапам сверху вниз: сначала определите набор аргументов, а затем вычисляйте функцию. Столбец проверки помогает заметить пропуски, ошибки в границах и неверное соответствие строк. Для электронной таблицы отдельно проверьте формулу в нескольких строках.

Разбор задач

Функция y = 2x + 1 для x = 0, 1, 2, 3

Условие. Составить таблицу значений функции y = 2x + 1 для x = 0, 1, 2, 3. Аргументы уже перечислены, поэтому выбирать шаг и промежуток не нужно. Остаётся отдельно вычислить значение функции для каждого из четырёх чисел.

1. Подставляем x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1.
2. Подставляем x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 3.
3. Подставляем x = 2: y = 2 · 2 + 1 = 5.
4. Подставляем x = 3: y = 2 · 3 + 1 = 7.

Ответ. При x, равных 0, 1, 2, 3, получаются значения y, равные 1, 3, 5, 7. В таблице каждому аргументу нужно поставить в соответствие результат из той же подстановки. Например, число 5 записывается напротив x = 2, а не напротив следующего аргумента.

Функция y = x² − 2 от −2 до 2 с шагом 1

Условие. Составить таблицу значений y = x² − 2 для x от −2 до 2 с шагом 1. Сначала перечислим аргументы, прибавляя единицу, чтобы не пропустить ноль. При возведении отрицательных чисел в квадрат записываем аргумент в скобках: квадрат отрицательного числа положителен.

1. Заполняем столбец x: −2, −1, 0, 1, 2.
2. Для x = −2 считаем y = (−2)² − 2 = 4 − 2 = 2.
3. Для x = −1 и x = 0 получаем y = (−1)² − 2 = −1 и y = 0² − 2 = −2.
4. Для x = 1 и x = 2 получаем y = 1² − 2 = −1 и y = 2² − 2 = 2.

Ответ. Таблица содержит пары (−2; 2), (−1; −1), (0; −2), (1; −1), (2; 2). Значения на одинаковом расстоянии от нуля совпали, потому что их квадраты равны. Проверка особенно важна для отрицательных аргументов: запись (−2)² даёт 4, а не −4.

Функция y = 3x² − 2x + 1 в электронной таблице

Условие. Построить таблицу для y = 3x² − 2x + 1 при x от −1 до 1 с шагом 0,2. Удобно разместить аргументы в столбце A, начиная с ячейки A2, а значения функции — в столбце B. Равный шаг позволяет получить все точки промежутка последовательным заполнением.

1. В ячейку A2 вводим −1, а в A3 — формулу =A2+0,2.
2. Копируем формулу из A3 вниз, пока не получим конечное значение 1; столбец будет содержать 11 аргументов.
3. В B2 вводим формулу =3*A2^2-2*A2+1, где A2 — ссылка на аргумент в той же строке.
4. Копируем формулу из B2 вниз до последней строки и проверяем, что ссылки меняются: например, в следующей строке формула обращается к A3.
5. Проверяем начало и конец: при x = −1 получаем 6, при x = 1 — 2.

Ответ. Столбец A содержит значения от −1 до 1 с шагом 0,2, а столбец B — результаты вычисления формулы для каждой строки. Например, при x = 0 получаем y = 1, а при x = 0,2 — y = 1,12. Если внизу не получилось 1, проверьте, правильно ли скопирована формула шага.

Типичные ошибки

Ошибка — выбирать неравные промежутки между значениями x, хотя в условии задан постоянный шаг. Так бывает, если прибавлять к каждому числу разное значение или пропускать аргумент. Проверьте разность соседних чисел: она должна каждый раз совпадать с заданным шагом.

Можно пропустить крайнее значение промежутка или включить число, которое уже выходит за его пределы. Это часто происходит, когда список аргументов составляют на глаз, не проверяя последнее прибавление шага. Сверьте первую и последнюю точки с условием и убедитесь, что каждое записанное значение принадлежит промежутку.

При подстановке легко ошибиться в знаке аргумента или порядке действий, особенно если число отрицательное или возводится в степень. Например, (−2)² = 4, поэтому в выражении x² важно подставить отрицательное x в скобках. Для проверки повторите вычисление отдельно, сначала записав подстановку, а затем выполнив действия по порядку.

В электронной таблице скопированная формула может ссылаться не на ячейку с аргументом из своей строки. Тогда в нескольких строках повторятся одинаковые результаты или вычисления будут соответствовать другим x. Проверьте формулы в начале, середине и конце столбца: ссылка должна указывать на аргумент той же строки.

Связь с другими темами

Чтобы составлять таблицу значений, нужно знать, что такое функция, аргумент и значение функции, а также уметь подставлять числа в формулу. При вычислениях пригодятся правила действий с отрицательными числами и степенями. Если эти навыки вызывают затруднение, сначала потренируйтесь на отдельных подстановках, а затем заполняйте столбцы.

Таблицы значений применяют при исследовании функций и построении их графиков: полученные пары чисел помогают определить точки для нанесения на координатную плоскость. Такой же принцип используют в электронных таблицах, где формулы автоматически вычисляют результаты для множества аргументов. Поэтому умение составлять таблицу связывает вычисления по формуле с наглядным представлением зависимости.

Что запомнить

• Каждому выбранному значению аргумента соответствует своё значение функции.
• Соседние значения аргумента в таблице обычно отличаются на один и тот же шаг.
• Значение функции находят подстановкой аргумента в формулу.
• В электронной таблице формулу достаточно ввести для первой строки и затем корректно скопировать.
• После заполнения нужно проверить промежуток, шаг и соответствие строк аргументам.