"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Чтобы выбрать место железнодорожной станции, задачу переводят на язык координат и расстояний. Положение станции становится переменной модели, а расстояния до населённых пунктов — частью критерия, который нужно минимизировать. Если учитывается число жителей, расстояния умножают на соответствующие веса. Модель помогает сравнивать допустимые места и обосновывать выбор, а не полагаться на случайную проверку нескольких точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание задачи с помощью объектов, величин и зависимостей между ними. Для выбора станции модель связывает её положение с расстояниями до населённых пунктов. Она нужна, чтобы заменить расплывчатую задачу точными выражениями и сравнивать варианты по одним правилам.
Переменная модели — величина, значение которой выбирают в ходе решения. В этой задаче переменная x обозначает координату станции на железнодорожной линии. Она нужна, чтобы записать расстояния и проверить, как меняется результат при перемещении станции.
Критерий оптимальности — показатель, по которому сравнивают варианты и выбирают лучший. Здесь им может быть сумма расстояний от станции до населённых пунктов или суммарный путь жителей. Критерий нужен, чтобы точно выразить цель: например, не просто «удобное место», а место с наименьшей суммой расстояний.
Оптимальное решение — допустимое положение станции, при котором выбранный критерий достигает наилучшего значения. Если требуется минимизировать суммарное расстояние, оптимальным будет место с наименьшим значением этой суммы среди разрешённых положений. Это определение помогает отличать действительно лучший вариант от просто подходящего.
Сначала определяют, какие данные влияют на решение: где расположены населённые пункты вдоль линии и каковы расстояния между ними. Если цель связана с общим путём жителей, нужно также знать численность населения каждого пункта. Эти сведения нельзя выбирать произвольно: без них модель будет описывать не реальную задачу, а только её неполную версию.
Затем выбирают начало отсчёта и присваивают координаты населённым пунктам и станции. Начало можно расположить в удобном месте, поскольку важны не сами координаты, а разности между ними. Если координата станции равна x, а пункта — a, расстояние до него записывается как |x − a|: модуль не позволяет получить отрицательное расстояние.
После этого составляют выражение для критерия, чтобы математически записать цель выбора. Для n пунктов сумма расстояний равна |x − a₁| + |x − a₂| + … + |x − aₙ|. Если учитывают число жителей wᵢ в каждом пункте, используют сумму w₁|x − a₁| + w₂|x − a₂| + … + wₙ|x − aₙ|. Вес показывает, насколько сильно путь до конкретного пункта влияет на общий результат.
Далее записывают ограничение на положение станции. Например, если доступен только участок от координаты L до координаты R, то должно выполняться L ≤ x ≤ R. Ограничение нужно потому, что математически удачное положение вне железнодорожного участка нельзя реализовать; оно не будет допустимым решением задачи.
Наконец, сравнивают значения критерия для допустимых положений и находят наименьшее. Если проверяется ограниченный набор мест, достаточно вычислить значение для каждого из них; если выбирать можно в любой точке участка, нужно обосновать, как меняется функция между пунктами. Так проверка показывает не только, какой вариант лучше среди просмотренных, но и почему другие допустимые положения не дают меньшего результата.
| Этап | Что определить или выполнить | Результат |
|---|---|---|
| Постановка задачи | Что именно требуется минимизировать | Точно сформулированная цель |
| Исходные данные | Координаты населённых пунктов и, если нужны, их веса | Набор данных для модели |
| Переменная и ограничения | Координата станции и допустимый участок линии | Разрешённые значения переменной |
| Критерий | Формула суммарных расстояний или взвешенной суммы расстояний | Показатель для сравнения мест |
| Поиск и проверка | Сравнение допустимых вариантов и обоснование выбора | Подтверждённое оптимальное положение |
Используйте таблицу как маршрут решения: переходите от постановки цели к данным, а затем к формуле и проверке. Если на каком-то этапе не хватает информации, например численности жителей, сначала уточните, требуется ли учитывать её в критерии. Завершайте работу обоснованием: выбранное место должно быть не только допустимым, но и лучшим по заданному показателю.
Задача 1. Два населённых пункта расположены в точках с координатами 2 и 10. Требуется найти положение станции, при котором сумма расстояний до них минимальна.
Обозначим координату станции через x и запишем критерий: S(x) = |x − 2| + |x − 10|. Так в формуле учтено расстояние до каждого пункта, а не положение пункта само по себе. Между координатами 2 и 10 сумма расстояний равна 8, потому что отрезки от станции до пунктов вместе составляют расстояние между ними.
Проверим положения вне этого отрезка. Если x < 2, сумма равна 2 − x + 10 − x и больше 8; если x > 10, она равна x − 2 + x − 10 и тоже больше 8. Значит, минимум равен 8 и достигается при любом x от 2 до 10 включительно.
Ответ: станцию можно разместить в любой точке отрезка [2; 10]; минимальная сумма расстояний равна 8.
Задача 2. Населённые пункты находятся в точках 1, 5 и 9. Нужно выбрать координату станции, чтобы сумма расстояний была наименьшей.
Составим функцию S(x) = |x − 1| + |x − 5| + |x − 9|. Расположение симметрично относительно точки 5: крайние пункты находятся от неё на одинаковом расстоянии. Поэтому положение x = 5 — естественный кандидат на минимум, но его нужно проверить сравнением.
При x = 5 получаем S(5) = 4 + 0 + 4 = 8. Если переместить станцию влево от 5, расстояние до пункта 1 уменьшается, но расстояния до пунктов 5 и 9 в сумме растут сильнее; справа от 5 происходит обратное. Следовательно, меньшего значения на этих участках нет.
Ответ: станцию следует разместить в точке 5; минимальная сумма расстояний равна 8.
Задача 3. Населённые пункты расположены в точках 1, 4 и 10, а число жителей в них равно соответственно 100, 300 и 100. Требуется минимизировать сумму расстояний, умноженных на численность жителей.
Запишем взвешенный критерий: S(x) = 100|x − 1| + 300|x − 4| + 100|x − 10|. Вес 300 у пункта с координатой 4 означает, что перемещение станции дальше от него увеличивает общий показатель особенно заметно. Поэтому обычной суммы расстояний здесь недостаточно.
Проверим x = 4: S(4) = 100·3 + 300·0 + 100·6 = 900. Если двигаться от 4 влево, расстояние до пункта с весом 300 сокращается, но расстояния до двух остальных пунктов вместе растут лишь с суммарным весом 200; итог увеличивается. При движении вправо расстояния до всех трёх пунктов увеличиваются в сумме с положительным приростом.
Ответ: станцию следует разместить в точке 4; минимальная взвешенная сумма расстояний равна 900.
Ошибка — складывать координаты вместо расстояний. Так делают, потому что координаты выглядят как готовые числа для вычислений, но их сумма ничего не говорит о пути до станции. Проверяйте формулу: расстояние между координатами x и a записывается как |x − a|, а не как x + a.
Ошибка — не учитывать численность жителей, хотя требуется минимизировать общий путь людей. Без весов малый и крупный населённые пункты влияют на результат одинаково, поэтому цель задачи описывается неверно. Проверьте условие: если в нём учитывается число жителей, каждое расстояние нужно умножить на соответствующее число.
Ошибка — проверить несколько произвольных точек и объявить лучшую оптимальной. Такая проверка сравнивает только выбранные места и не исключает, что между ними или в другом месте есть результат лучше. Чтобы проверить себя, обоснуйте поведение критерия на всём допустимом участке или сравните все возможные варианты, если их конечное число.
Ошибка — игнорировать границы разрешённого участка. Иногда минимум формулы находится за пределами линии, но такое место нельзя использовать в реальности. Перед окончательным ответом проверьте, входит ли найденная координата в допустимый промежуток; если нет, выбирайте лучший вариант только среди разрешённых положений.
Для этой модели нужны координаты на числовой прямой и умение находить расстояние между точками. Расстояние выражают модулем разности координат, поэтому полезно заранее понимать, как работает модуль. Та же идея моделирования и выбора критерия применяется в электронных таблицах: формулы помогают сравнивать варианты и находить наилучший.
Подобные задачи встречаются в логистике и планировании размещения объектов. Например, выбирают место склада, пункта обслуживания или остановки, чтобы сократить путь людей или перевозок. Как и в задаче о станции, результат зависит от цели, исходных данных и ограничений.
Почему расстояние до населённого пункта записывают через модуль?
Если координаты станции и пункта равны x и a, расстояние между ними равно |x − a|. Модуль нужен, потому что расстояние не бывает отрицательным: он учитывает, с какой стороны от пункта находится станция.
Как выбрать начало отсчёта для координат?
Начало отсчёта можно выбрать в любой удобной точке железнодорожной линии. Главное — задать координаты всех населённых пунктов и станции в одной системе, чтобы разности координат правильно показывали расстояния.
Зачем учитывать численность жителей?
Если цель — уменьшить общий путь жителей, расстояние до каждого пункта нужно умножить на число его жителей. Тогда пункт с большим населением сильнее влияет на результат, чем малонаселённый.
Можно ли поставить станцию за пределами рассматриваемого участка?
Нет, если условие ограничивает доступный участок железной дороги. Такое положение может давать хорошее значение формулы, но оно недопустимо и не считается решением задачи.
Как доказать, что найденное положение станции оптимально?
Нужно показать, что ни одно другое допустимое положение не даёт меньшего значения критерия. Это можно сделать сравнением всех вариантов в конечном наборе или обосновать минимум функции, например рассмотрев её поведение на участках между населёнными пунктами.
§ 23. Моделирование в задаче выбора положения железнодорожной станции
